Построение сечений методом следов

Построение сечений методом следов

Сечение многогранника — это многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Метод следов — один из основных способов построения сечений: он опирается на нахождение следа секущей плоскости на плоскости грани (чаще всего на плоскости основания).

Что такое след

Следом секущей плоскости на плоскости некоторой грани называется прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани. Зная след на плоскости основания, легко находить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами, продолжая стороны сечения до пересечения с этим следом. Именно поэтому метод и получил своё название.

Опорные правила

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то их можно соединить — получится отрезок сечения в этой грани.
2. Секущая плоскость пересекает две параллельные грани по параллельным отрезкам.
3. Точки пересечения секущей плоскости с продолжениями рёбер помогают построить след.

Главное правило: соединять отрезком можно только те две точки, которые заведомо лежат в одной плоскости (в одной грани многогранника).

Разбор примера

Пусть в кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 заданы три точки сечения: M на AB, N на AD и K на AA_1. Строим сечение:

1) M и N лежат в грани ABCD — соединяем: отрезок MN.
2) M и K лежат в грани ABB_1A_1 — соединяем: отрезок MK.
3) N и K лежат в грани ADD_1A_1 — соединяем: отрезок NK.
Сечение — треугольник MNK.

В более сложных случаях, когда заданные точки лежат в разных гранях и их нельзя соединить напрямую, сначала продлевают рёбра и стороны уже построенных отрезков, находят след секущей плоскости на плоскости основания, а затем по этому следу достраивают недостающие стороны сечения. Так шаг за шагом замыкается весь многоугольник сечения.

Какие многоугольники получаются

Форма сечения зависит от числа граней, которые пересекает плоскость. Сечение тетраэдра (четыре грани) может быть треугольником или четырёхугольником. Сечение куба или параллелепипеда (шесть граней) бывает треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником, но не семиугольником — у куба всего шесть граней, поэтому больше шести сторон у сечения быть не может. Это полезное правило для самопроверки: если в построении сечения куба получилось семь сторон, где-то допущена ошибка.

Частые ошибки. Нельзя соединять две точки, если они не лежат в одной грани, — линия «по воздуху» не является стороной сечения. Стороны сечения всегда лежат в гранях многогранника, а сечение должно быть замкнутым многоугольником.

Сначала обоснуйте плоскость, затем линию в ней

В пространственном чертеже две линии могут пересечься на бумаге, хотя в самом теле они скрещиваются. Для вспомогательной точки сначала укажите общую плоскость обеих прямых, затем докажите, что они не параллельны. Принадлежность на рисунке не заменяет доказательства. Плоскость можно задать тремя неколлинеарными точками, прямой и внешней точкой либо двумя пересекающимися прямыми.

В обычном параллельном изображении сохраняют параллельность и отношения отрезков на одной прямой. Прямой угол в пространстве не обязан выглядеть прямым на листе. Видимые рёбра показывают сплошной линией, скрытые — штриховой; вспомогательные продолжения полезно отличать толщиной или типом линии. Видимость не меняет принадлежности: невидимая сторона сечения остаётся частью его границы.

Тетраэдр: строим четырёхугольник по трём точкам

В тетраэдре ABCD точки M,N,K — середины AB, AC и BD соответственно. Построим сечение плоскостью MNK.

1. В грани ABC проводим MN. По теореме о средней линии MN ∥ BC.
2. В грани ABD проводим MK; это средняя линия, поэтому MK ∥ AD.
3. В грани ACD через N проводим NQ ∥ AD. По обратному свойству средней линии Q — середина CD.
4. Поскольку MK принадлежит секущей плоскости, параллелен плоскости ACD и не лежит в ней, пересечение секущей плоскости с ACD проходит через N параллельно MK. Значит, построенная Q действительно принадлежит сечению.
5. Соединяем Q с K в грани BCD. Граница сечения — MNQK: стороны лежат последовательно в ABC, ACD, BCD и ABD.

MN и QK параллельны BC, MK и NQ параллельны AD: получился параллелограмм. Не соединяйте M с Q как сторону: это диагональ внутри плоскости сечения, а не след на одной грани.

В общем случае приём средней линии не применим без условия середин. Тогда ищут след через пересечения продолжений или другую обоснованную вспомогательную плоскость. После построения перечислите пересечённые грани и проверьте замкнутость, чтобы не пропустить сторону.

Справочные материалы: Построение сечений методом следов — исходная тема; Построение сечений методом следов — исходная тема. Связанные уроки: Стереометрия и её основные фигуры, Параллельные плоскости.

Кратко о главном

• Сечение — многоугольник пересечения многогранника и плоскости.
• След — прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью грани.
• Соединять отрезком можно только точки одной грани.
• Параллельные грани пересекаются по параллельным отрезкам.