Синус, косинус и тангенс угла
📏 Геометрия · 8 класс
Тригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.
Синус, косинус и тангенс угла
Тригонометрия прямоугольного треугольника изучает связь между его острыми углами и сторонами. Для острого угла вводят три отношения сторон: синус, косинус и тангенс. Замечательное свойство этих величин в том, что они зависят только от величины угла, а не от размеров самого треугольника. Поэтому, зная угол, можно находить стороны, и наоборот — это широко применяется в геодезии, навигации и строительстве. Например, чтобы измерить высоту дерева, не залезая на него, достаточно знать угол, под которым видна вершина, и расстояние до дерева: дальше работает тангенс.
Определения через стороны
В прямоугольном треугольнике сторону, лежащую напротив прямого угла, называют гипотенузой; это самая длинная сторона. Две другие стороны называют катетами. Для выбранного острого угла один катет является противолежащим (лежит напротив угла), а другой — прилежащим (примыкает к углу).
| Функция | Определение | Формула |
|---|---|---|
| Синус | Отношение противолежащего катета к гипотенузе | sin α = a / c |
| Косинус | Отношение прилежащего катета к гипотенузе | cos α = b / c |
| Тангенс | Отношение противолежащего катета к прилежащему | tg α = a / b |
Основное тригонометрическое тождество
Для любого острого угла выполняется равенство, которое называют основным тригонометрическим тождеством: sin²α + cos²α = 1. Оно прямо следует из теоремы Пифагора и позволяет находить одну функцию через другую. Кроме того, тангенс выражается через синус и косинус: tg α = sin α / cos α.
Значения для частых углов
Стоит запомнить значения для углов 30°, 45° и 60° — они встречаются в задачах постоянно. Например, sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5, а tg 45° = 1. Эти значения удобно держать в памяти, чтобы не выводить их каждый раз.
Дано: прямоугольный треугольник, катеты a = 3, b = 4, гипотенуза c = 5.
Шаг 1. sin α = a / c = 3 / 5 = 0,6.
Шаг 2. cos α = b / c = 4 / 5 = 0,8.
Шаг 3. Проверка тождества: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Верно.
Шаг 4. tg α = a / b = 3 / 4 = 0,75.Частые ошибки. Синус и косинус путают: синус — это отношение противолежащего катета, а косинус — прилежащего. Все эти отношения определяются только в прямоугольном треугольнике. Синус и косинус острого угла всегда меньше единицы, потому что катет всегда короче гипотенузы.
Как читать таблицу Брадиса
Сначала определите функцию и единицу угла. Один градус содержит 60 угловых минут: 32°18′ = 32,3°, а не 32,18°. Табличные значения приближённые; знак ≈ точнее знака =, если результат округлён.
Синус и косинус
В просмотренной таблице градусы для синуса стоят слева, минуты — сверху с шагом 6′. Для синуса 32°18′ найдите строку 32° и столбец 18′: получите sin 32°18′ ≈ 0,5344. Внутри строки общая десятичная часть может не повторяться у каждого числа: запись 5344 здесь означает 0,5344.
Косинус читают по подписи градусов справа и минут снизу. Проверка через дополнительный угол: cos 57°42′ = sin 32°18′ ≈ 0,5344. Значения sin и cos для острых углов должны находиться между 0 и 1; ответ 5,344 сразу показывает ошибку чтения.
Тангенс и котангенс
Во второй таблице для тангенса снова используйте градусы слева и минуты сверху. В строке 30° и столбце 0′ находится tg 30° ≈ 0,5774. Для котангенса ориентируйтесь на градусы справа и минуты снизу: ctg 60° даёт то же число, поскольку ctg(90° − α) = tg α.
Тангенс и котангенс могут превышать 1: например, tg 60° = √3. Не применяйте к ним ограничение синуса. При углах вне показанного диапазона нельзя продолжать таблицу «по образцу» без формул приведения или другого источника значений.
Если минуты не кратны шести
В полной таблице для этого предусмотрены поправки. Перед их использованием прочитайте правило именно своего издания: направление поправки зависит от функции и выбранной соседней колонки. Без инструкции безопаснее взять калькулятор в режиме градусов и округлить до нужной точности, чем угадывать знак поправки. Для обратного поиска угла найдите ближайшее значение и проверьте, какую функцию и шкалу вы читаете.
Справочные материалы: Синус, косинус и тангенс угла — исходная тема; Синус, косинус и тангенс угла — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Площадь треугольника.
Кратко о главном
- Синус, косинус и тангенс — отношения сторон прямоугольного треугольника.
sin α— противолежащий катет к гипотенузе,cos α— прилежащий к гипотенузе.tg α— отношение противолежащего катета к прилежащему.- Основное тождество:
sin²α + cos²α = 1. - Значения функций зависят только от угла, а не от размеров треугольника.