Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Где лежат основания высот в разных треугольниках и почему высота может выходить за фигуру.
Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника
Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. У каждого треугольника три высоты — по одной из каждой вершины. Но расположены эти высоты по-разному, и зависит это от вида треугольника по его углам.
Высоты в остроугольном треугольнике
В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90°. В таком треугольнике основание каждой высоты лежит прямо на стороне, а все три высоты целиком проходят внутри треугольника. Это самый простой и привычный случай.
Высоты в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, потому что катеты перпендикулярны друг другу. Третья высота опущена из вершины прямого угла на гипотенузу и проходит внутри треугольника. Таким образом, две из трёх высот здесь совпадают со сторонами.
Высоты в тупоугольном треугольнике
В тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°. Здесь две высоты выходят за пределы самого треугольника: чтобы опустить перпендикуляр из вершины острого угла, противоположную сторону приходится мысленно продлевать. Основание такой высоты попадает не на саму сторону, а на её продолжение.
| Вид треугольника | Где основания высот |
|---|---|
| Остроугольный | Все основания на сторонах |
| Прямоугольный | Две высоты — катеты, одна на гипотенузе |
| Тупоугольный | Две высоты на продолжениях сторон |
Почему так происходит
Тупоугольный треугольник ABC, угол A тупой.
Чтобы провести высоту из вершины B,
нужен перпендикуляр к прямой AC.
Нога этого перпендикуляра попадает
на ПРОДОЛЖЕНИЕ стороны AC за точку A.
⇒ высота проходит вне треугольника.Частая ошибка. Думать, что высота всегда находится внутри треугольника. Высоту определяют как перпендикуляр к прямой, содержащей сторону, а не к самому отрезку. Поэтому в тупоугольном треугольнике высота вполне может лежать снаружи фигуры.
Точка пересечения высот
Прямые, на которых лежат три высоты треугольника, всегда пересекаются в одной общей точке. У остроугольного треугольника эта точка находится внутри фигуры. У прямоугольного она совпадает с вершиной прямого угла. А у тупоугольного треугольника точка пересечения высот лежит вне треугольника.
Как строить высоту
Чтобы построить высоту, из вершины опускают перпендикуляр на противоположную сторону или на её продолжение с помощью угольника или циркуля. В тупоугольном случае нужно сначала продлить сторону, а уже затем опускать на неё перпендикуляр. Аккуратное построение помогает не запутаться в расположении высот.
Кратко о главном
- Высота — перпендикуляр из вершины к прямой противоположной стороны.
- В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри.
- В прямоугольном две высоты совпадают с катетами.
- В тупоугольном две высоты лежат вне треугольника.
- Основание высоты может попадать на продолжение стороны.
- Прямые трёх высот пересекаются в одной точке.