Векторы в пространстве
📏 Геометрия · 11 класс
Координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.
Векторы в пространстве
Вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. В пространстве вектор задаётся тремя координатами: a(x; y; z). Чтобы найти координаты вектора по двум точкам, из координат конца вычитают координаты начала: для A(x₁;y₁;z₁) и B(x₂;y₂;z₂) вектор AB(x₂−x₁; y₂−y₁; z₂−z₁). Действия с векторами почти не отличаются от плоскости — просто добавляется третья координата.
Длина вектора и операции
Длина (модуль) вектора находится по формуле, обобщающей теорему Пифагора: |a| = √(x² + y² + z²). Сложение и вычитание выполняются покоординатно, умножение на число — умножением каждой координаты.
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов — это число, которое можно вычислить двумя способами. Через координаты: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Через длины и угол: a·b = |a|·|b|·cos φ. Приравнивая их, получаем главную формулу для угла между векторами:
cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (|a|·|b|)
Для двух ненулевых векторов нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность. Это удобнейший признак перпендикулярности. Знак скалярного произведения подсказывает и характер угла: если оно положительно — угол острый, если отрицательно — тупой, если ноль — прямой.
Векторный метод выручает в задачах, где трудно «увидеть» угол на чертеже. Например, чтобы найти угол между скрещивающимися рёбрами многогранника, достаточно взять направляющие векторы этих рёбер и подставить координаты в формулу косинуса. При этом если получился отрицательный косинус, для угла между прямыми берут его модуль, ведь угол между прямыми по определению не превышает 90°.
| Операция | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Длина | √(x² + y² + z²) | число (длина) |
| Сумма | (x₁+x₂; y₁+y₂; z₁+z₂) | вектор |
| Скалярное произведение | x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ | число |
| Признак ⊥ | a·b = 0 | перпендикулярны |
Пример решения
Найдём угол между векторами a(1; 2; 2) и b(2; 1; −2).
1) Скалярное произведение:
a·b = 1·2 + 2·1 + 2·(−2) = 2 + 2 − 4 = 0.
2) Так как a·b = 0, векторы перпендикулярны.
3) Значит cos φ = 0, угол φ = 90°.
Ответ: угол равен 90° (векторы перпендикулярны).Частые ошибки. 1) При нахождении вектора по точкам вычитают начало из конца наоборот — получают противоположный вектор. 2) В скалярном произведении складывают модули вместо произведений координат. 3) Забывают, что результат скалярного произведения — число, а не вектор. 4) Не учитывают знак минус у координаты при возведении: (−2)² = 4, а не −4.
Радиус-вектор и ортогональные проекции
Радиус-вектор точки A — это OA, где O — выбранное начало координат. При A = (2; −3; 4) вектор OA имеет те же координаты, но вектор AB уже равен OB − OA. Смена начала координат меняет радиус-векторы точек, а разность, задающая свободный вектор AB, при параллельном переносе осей остаётся прежней.
Ортогональная проекция вектора на ось — число со знаком: для a = (2; −3; 4) проекции на положительные оси равны 2, −3, 4. Длина проекции на ось y равна 3, а не −3. Проекция на плоскость Oxy — вектор (2; −3; 0), его длина √13. В общем случае вектор проекции на плоскость с единичной нормалью n равен a − (a·n)n. Начальное положение плоскости не влияет на результат: проектируют оба конца и берут разность.
Оригинальная задача на координаты
Даны A = (−1; 2; 0), B = (3; −1; 2), C = (1; 4; −2). Найдите вектор d = 2AB − AC и длину его проекции на Oxy.
- AB = (4; −3; 2), AC = (2; 2; −2).
- d = (8; −6; 4) − (2; 2; −2) = (6; −8; 6).
- Проекция на Oxy равна (6; −8; 0), её длина √(36 + 64) = 10. Длина самого d равна √136 = 2√34: это другой вопрос.
Это редакционный тренировочный пример, а не воспроизведение задания ФИПИ. Чтобы проверить знаки, вычислите d также через радиус-векторы: 2(OB − OA) − (OC − OA) = 2OB − OA − OC. Получится тот же ответ.
Угол с нулевым вектором не определён. Поэтому утверждение «нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность» применяйте к двум ненулевым векторам. Если в вычислениях возник нулевой вектор, отдельно проверьте, существует ли искомая прямая или угол.
Справочные материалы: Векторы в пространстве — исходная тема; Векторы в пространстве — исходная тема. Связанные уроки: Векторы в пространстве, Метод координат.
Кратко о главном
- Вектор в пространстве задаётся тремя координатами a(x; y; z).
- Координаты вектора по точкам: из конца вычесть начало.
- Длина: |a| = √(x² + y² + z²).
- Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ — это число.
- Для ненулевых a и b равенство a·b = 0 означает перпендикулярность; угол ищут через cos φ = (a·b)/(|a|·|b|).