Биссектрисы углов треугольника
📏 Геометрия · 7 класс
Свойства биссектрис треугольника, точка их пересечения и связанные с ними углы.
Биссектрисы углов треугольника
Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, проведённый от вершины до пересечения с противоположной стороной. У каждого треугольника три биссектрисы — по одной из каждого угла. Они обладают важными свойствами, которые часто проверяют на экзаменах.
Что такое биссектриса
Биссектриса делит угол на два равных угла. В треугольнике биссектриса начинается в вершине угла и заканчивается на противолежащей стороне. Поэтому это именно отрезок, а не луч.
| Линия треугольника | Откуда | Куда |
|---|---|---|
| Биссектриса | из вершины угла | на противоположную сторону |
| Медиана | из вершины | в середину стороны |
| Высота | из вершины | перпендикулярно стороне |
Точка пересечения биссектрис
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от всех трёх сторон треугольника. Поэтому она является центром окружности, вписанной в треугольник.
Биссектрисы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC
пересекаются в одной точке I.
Расстояния от I до всех сторон равны.Свойства биссектрис
Любая точка биссектрисы угла одинаково удалена от сторон этого угла. Это свойство объясняет, почему точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника.
- Биссектриса делит угол пополам.
- Точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
- Три биссектрисы пересекаются в одной точке.
- Эта точка — центр вписанной окружности.
Частая ошибка. Считать, что биссектриса всегда делит противоположную сторону пополам. Это верно только для равнобедренного треугольника, когда биссектриса проведена к основанию. В общем случае биссектриса и медиана — разные отрезки.
Биссектриса и углы
Поскольку биссектриса делит угол пополам, её часто используют для вычисления углов. Если угол треугольника равен 80°, то его биссектриса образует с каждой из сторон угол 40°. Зная углы треугольника, можно находить углы между биссектрисой и сторонами, а также углы внутри образующихся меньших треугольников.
- Биссектриса делит угол на два равных угла.
- Каждый из них равен половине исходного угла.
- Длина биссектрисы зависит от сторон и угла треугольника.
Биссектриса в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, совпадает с медианой и высотой. Это особое свойство часто используют в доказательствах и вычислениях. Благодаря ему достаточно построить один отрезок, чтобы получить сразу три замечательные линии треугольника.
Угол при пересечении внутренних биссектрис
Пусть I — точка пересечения внутренних биссектрис треугольника ABC. Тогда ∠AIB = 90° + ∠C/2. Здесь речь об угле, образованном лучами IA и IB, а не автоматически о меньшем угле между полными прямыми AI и BI.
Короткое доказательство
В треугольнике AIB углы при A и B равны A/2 и B/2 по определению биссектрисы. Поэтому ∠AIB = 180° − (A + B)/2. Так как A + B = 180° − C, получаем 180° − 90° + C/2 = 90° + C/2. Этот угол тупой для любого невырожденного треугольника.
Оригинальные задачи: при C = 68° получаем ∠AIB = 124°. Если ∠AIB = 117°, то C = 2·(117° − 90°) = 54°. Меньший угол между прямыми AI и BI в первом примере равен 180° − 124° = 56°: перепутать эти вопросы легко.
Как биссектриса делит противоположную сторону
Если AD — внутренняя биссектриса, D лежит на BC, то BD/DC = AB/AC. Вывод можно получить через площади: у ABD и ACD общая высота к BC, поэтому отношение площадей равно BD/DC. С другой стороны, по формуле площади через стороны и угол это отношение равно AB·AD·sin(A/2)/(AC·AD·sin(A/2)) = AB/AC.
Например, AB = 6 см, AC = 9 см, BC = 10 см. Отношение BD:DC = 2:3; всего пять частей, одна часть 2 см. Ответ: BD = 4 см, DC = 6 см. Проверка: сумма 10 см, меньшей стороне AB соответствует меньший отрезок BD.
Не подставляйте в эти формулы внешнюю биссектрису без изменения конфигурации. И не называйте угол AIB «половиной C»: половина третьего угла только прибавляется к 90°.
Справочные материалы: Биссектрисы углов треугольника — исходная тема; Биссектрисы углов треугольника — исходная тема. Связанные уроки: Биссектрисы углов треугольника, Площадь треугольника.
Кратко о главном
- Биссектриса угла треугольника делит угол пополам.
- Три биссектрисы пересекаются в одной точке.
- Эта точка равноудалена от сторон и является центром вписанной окружности.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию совпадает с медианой и высотой.