Построение треугольника по трём сторонам

Постановка задачи

Построение треугольника по трём сторонам — одна из основных задач на построение циркулем и линейкой. Даны три отрезка с длинами a, b и c; требуется построить треугольник, стороны которого равны этим отрезкам. Никакими измерительными приборами с делениями пользоваться нельзя — только циркуль и линейка без шкалы.

Чтобы такой треугольник вообще существовал, длины сторон должны удовлетворять неравенству треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если это условие нарушено, построить треугольник невозможно.

Идея построения

Сначала одну из сторон откладывают на прямой. Две другие стороны определяют положение третьей вершины: она лежит на пересечении двух окружностей, радиусы которых равны этим сторонам.

Третья вершина треугольника находится там, где пересекаются окружность радиуса b с центром в одном конце отложенной стороны и окружность радиуса a с центром в другом её конце.

Порядок действий

Удобно представить построение в виде последовательности шагов.

Запись построения

Дано: отрезки a, b, c.
Условие существования: a < b + c, b < a + c, c < a + b.
1. На прямой откладываем отрезок AB длиной c.
2. Строим окружность с центром A и радиусом b.
3. Строим окружность с центром B и радиусом a.
4. Берём точку C — пересечение окружностей.
5. Соединяем отрезками AC и BC.
Результат: треугольник ABC, где AB = c, AC = b, BC = a.

Обоснование построения

Почему получился именно нужный треугольник? Это следует прямо из определения окружности как множества точек на заданном расстоянии от центра.

• AC = b, потому что точка C лежит на окружности радиуса b с центром A;
• BC = a, потому что точка C лежит на окружности радиуса a с центром B;
• AB = c по построению.

Частая ошибка. Не проверяют неравенство треугольника перед построением. Если одна сторона не меньше суммы двух других, окружности либо не пересекутся вовсе, либо коснутся в одной точке, и настоящего треугольника не получится.

Сколько решений у задачи

Две окружности при выполненном неравенстве треугольника пересекаются в двух точках — выше и ниже прямой. Обе дают треугольник с теми же сторонами, и эти треугольники равны между собой по третьему признаку, отличаясь лишь зеркальным отражением. Поэтому считают, что задача имеет единственное решение с точностью до расположения на плоскости. Если же неравенство треугольника не выполнено, решений нет совсем.

Похожие задачи на построение

• построение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
• построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам;
• построение равнобедренного и равностороннего треугольников.

Как оформить геометрическое решение

Короткая запись должна показывать не только действия, но и основания для них. Читатель должен понять, откуда взялись равенство, параллельность или выбранная формула. Удачный чертёж помогает рассуждать, но его вид не доказывает свойства фигуры.

1. Дано. Перечислите условия и обозначения, не добавляя того, что лишь кажется верным на рисунке.
2. Найти, доказать или построить. Назовите требуемый результат; это три разных типа задачи.
3. Дополнительное построение. Укажите, какую точку или линию вводите и чем она определена.
4. Рассуждение. Свяжите каждый существенный шаг с определением, условием, свойством или теоремой.
5. Завершение. Для вычисления запишите ответ с единицами; для доказательства — полученное утверждение; для построения — обоснование и условия существования.

Пример записи для построения

Даны отрезки длиной 4, 5 и 6 см. Построить треугольник с такими сторонами. Числа здесь обозначают заданные отрезки: в классическом построении их переносят циркулем.

Построение: откладываем AB = 6; проводим окружности с центрами A и B радиусами 4 и 5; выбираем точку пересечения C; проводим AC и BC. Обоснование: AB = 6 по построению, AC = 4 и BC = 5 как радиусы соответствующих окружностей. Исследование: |5 − 4| < 6 < 5 + 4, поэтому окружности пересекаются в двух точках. Полученные треугольники зеркальны и равны; с точностью до положения решение одно.

Как проверить готовую запись

Фразу «AB параллельна CD, поэтому углы равны» можно использовать, если параллельность дана или уже доказана. Если прямые только выглядят параллельными, сначала нужен признак параллельности. Не используйте искомое утверждение в собственном доказательстве.

Для задачи на вычисление достаточно найти нужную величину и обосновать путь к ней. Для задачи на доказательство одного числового примера недостаточно. Конкретные требования к экзаменационной записи проверяют по критериям соответствующего задания: один универсальный шаблон сам по себе не гарантирует баллы.

Справочные материалы: Постановка задачи — исходная тема. Связанные уроки: Постановка задачи, Что такое аксиома.

Кратко о главном

• Треугольник по трём сторонам строят циркулем и линейкой.
• Одну сторону откладывают, две другие задают вершину пересечением дуг.
• Длины сторон должны удовлетворять неравенству треугольника.
• Правильность построения следует из определения окружности.