Метод координат
📏 Геометрия · 8 класс
Координаты вектора, расстояние между точками, деление отрезка.
Метод координат
Метод координат позволяет описывать геометрические фигуры с помощью чисел и тем самым соединяет геометрию с алгеброй. На плоскости задают две перпендикулярные оси — оси координат (ось абсцисс и ось ординат), и тогда каждая точка получает пару чисел (x; y), которые называют её координатами. Благодаря этому длины, расстояния и середины отрезков можно вычислять по точным формулам, не прибегая к измерениям линейкой.
Этот метод придумал французский математик Рене Декарт, поэтому прямоугольную систему координат называют декартовой. Точку пересечения осей называют началом координат, она имеет координаты (0; 0). Первую координату x называют абсциссой, вторую y — ординатой.
Координаты вектора и расстояние между точками
Если даны точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора AB находят вычитанием координат начала из координат конца: {x₂ − x₁; y₂ − y₁}. Расстояние между двумя точками вычисляют по формуле, которая прямо следует из теоремы Пифагора, если построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям.
| Величина | Формула | Что вычисляет |
|---|---|---|
| Координаты вектора AB | {x₂−x₁; y₂−y₁} | Разность координат |
| Длина вектора | √(a² + b²) | Длину отрезка по координатам |
| Расстояние AB | √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) | Расстояние между точками |
| Середина отрезка | ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) | Координаты середины |
Деление отрезка пополам
Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Это удобно для нахождения центра отрезка, проверки того, что диагонали делятся пополам, и для построения медиан. Формула простая, но именно её часто применяют в задачах на доказательство свойств фигур координатным методом. Например, чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, достаточно показать, что середины его диагоналей совпадают: для этого вычисляют координаты середины каждой диагонали и сравнивают их.
Разбор примера
Дано: A(1; 2), B(4; 6). Найти длину AB и середину M.
Шаг 1. Разности координат: 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4.
Шаг 2. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Шаг 3. Середина: x = (1 + 4)/2 = 2,5; y = (2 + 6)/2 = 4.
Шаг 4. Ответ: AB = 5, середина M(2,5; 4).Частые ошибки. В формуле расстояния разности обязательно возводят в квадрат, поэтому знак «минус» исчезает и порядок точек неважен. Для середины берут полусумму (делят на 2), а не разность координат. Следите за скобками: сначала выполняется вычитание, и только потом возведение в квадрат.
Деление отрезка в произвольном отношении
Пусть M лежит внутри AB и AM:MB = m:n, где m,n > 0. Тогда M находится на доле m/(m + n) пути от A к B. Поэтому OM = OA + m(OB − OA)/(m + n), откуда:
xM = (nxA + mxB)/(m + n), yM = (nyA + myB)/(m + n). В пространстве точно так же вычисляют zM. Коэффициенты у координат концов стоят «перекрёстно»: при AM:MB = 2:3 координаты A умножаются на 3, координаты B — на 2.
Оригинальный пример и проверка
A = (−2; 1), B = (8; 6), AM:MB = 2:3. Получаем xM = (3·(−2) + 2·8)/5 = 2; yM = (3·1 + 2·6)/5 = 3. Значит, M = (2;3). Проверим через разности: AM = (4;2), MB = (6;3); их длины относятся как 2:3. Точка M ближе к A, что соответствует меньшему AM.
Если ошибочно умножить A на 2, а B на 3, получится (4;4), делящее отрезок в обратном отношении 3:2. Проверка положения точки часто быстрее повторного вычисления.
Как найти неизвестный конец
В том же примере, зная A, M и AM:MB = 2:3, можно восстановить B: из 5M = 3A + 2B следует B = (5M − 3A)/2. По координатам это ((10 + 6)/2; (15 − 3)/2) = (8;6).
Самопроверка: при m = n формула превращается в формулу середины. При положительных m,n каждая координата M находится между соответствующими координатами A и B, а сама M лежит на отрезке. Для внешнего деления эта запись с положительными m,n неприменима: сначала нужно определить положение точки и направленные отношения.
Справочные материалы: Метод координат — исходная тема. Связанные уроки: Векторы в пространстве, Измерение отрезков.
Кратко о главном
- Метод координат описывает каждую точку парой чисел
(x; y). - Координаты вектора — это разность координат конца и начала.
- Расстояние между точками:
√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). - Координаты середины отрезка — полусумма координат его концов.
- Формула расстояния следует из теоремы Пифагора.