Сечения многогранников плоскостью

Практика и разбор обновлены 27 октября 2026 года.

Сечение многогранника плоскостью

Сечением многогранника называют многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Стороны этого многоугольника — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Сечение куба: соединяйте точки в общей грани

Сторона сечения лежит в грани многогранника и секущей плоскости. Поэтому перед проведением отрезка нужно проверить, принадлежат ли его концы одной грани. Отрезок, нарисованный через внутренность тела, не обязательно является стороной сечения.

Задача для самостоятельной попытки

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 2 проведена плоскость через A, B и C₁. Постройте сечение и найдите его площадь.

Решение по шагам

Плоскость содержит также D₁. Получаем четырёхугольник ABC₁D₁: AB ∥ D₁C₁, AD₁ ∥ BC₁. Ребро AB перпендикулярно грани ADD₁A₁, значит перпендикулярно AD₁. Сечение — прямоугольник со сторонами 2 и 2√2. Площадь равна 4√2.

Где обычно ошибаются

Не принимайте диагональный вид на перспективном рисунке за форму параллелограмма с произвольным углом. Прямой угол доказывается взаимным расположением ребра и грани, а не измеряется линейкой на изображении.

Проверка результата

Проверьте каждую сторону: AB лежит в нижней грани, BC₁ — в боковой, C₁D₁ — в верхней, D₁A — в другой боковой. Все точки находятся в одной секущей плоскости. Для куба стороны a формула площади этого сечения — a²√2.

Чтобы построить сечение, нужно найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника и соединить их, учитывая, что секущая плоскость пересекает каждую грань по прямой.

Основные правила построения

• Две точки сечения, лежащие в одной грани, соединяют отрезком.
• Если две грани параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым.
• Точки пересечения секущей плоскости с прямыми основания лежат на одной прямой — следе секущей плоскости.

Метод следов

Метод следов основан на построении линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Найдя след, последовательно отыскивают точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединяют их.

Какие фигуры получаются

Форма сечения зависит от положения секущей плоскости. Сечение куба может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником. Сечение тетраэдра — треугольником или четырёхугольником. Число сторон сечения не может превышать числа граней многогранника, потому что каждая сторона лежит в отдельной грани.

Особое значение имеют сечения, проходящие через определённые элементы. Так, сечение призмы, проходящее через два боковых ребра, называют диагональным. У пирамиды важны сечения, проходящие через вершину, — они всегда являются треугольниками, а также сечения, параллельные основанию, — они подобны основанию.

Разобранная схема

Пусть нужно построить сечение призмы через три точки M, N, K на её рёбрах. Порядок действий такой:

1. Соединяют точки, лежащие в одной грани: M и N.
2. Продолжают отрезок до пересечения с прямой основания, получая точку следа.
3. Через след и точку K строят линию пересечения с соседней гранью.
4. Замыкают многоугольник сечения.

Частые ошибки. Нельзя соединять отрезком две точки, лежащие в разных, непересекающихся гранях — сторона сечения всегда лежит в одной грани. Также важно помнить о параллельности линий пересечения для параллельных граней.

После построения найдите настоящие размеры сечения

Измерять линейкой стороны пространственного рисунка нельзя: проекция искажает длины и углы. Сначала докажите вид многоугольника и свяжите его стороны с размерами тела. Затем применяйте планиметрию в самой плоскости сечения. Периметр — сумма длин границы, площадь — размер внутренней области; это разные величины.

Задача 1. Диагональное сечение коробки

У прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания AB = 3 см, AD = 4 см, высота AA₁ = 6 см. Плоскость проходит через диагональ AC и ребро AA₁. Она пересекает верхнее основание по A₁C₁, параллельному AC; сечение ACC₁A₁ — прямоугольник.

Диагональ основания AC = √(3² + 4²) = 5 см. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, значит и AC. Стороны прямоугольника 5 и 6 см. P = 2(5 + 6) = 22 см, S = 5·6 = 30 см². Диагональ всего параллелепипеда здесь не является стороной сечения.

Задача 2. Плоскость отсекает угол куба

Ребро куба 8 см. Сечение проходит через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Каждая сторона лежит в квадратной грани и соединяет середины двух соседних рёбер. По Пифагору её длина √(4² + 4²) = 4√2 см. Все три стороны равны, поэтому сечение равностороннее.

P = 12√2 см. Высота треугольника равна (4√2)√3/2 = 2√6 см; площадь S = (4√2·2√6)/2 = 8√3 см². Проверка формулой равностороннего треугольника: a²√3/4 = 32√3/4.

Что проверить в ответе

Периметр имеет единицу длины, площадь — квадратную. Высота треугольного сечения лежит в его плоскости и не обязана совпадать с высотой многогранника. Если площадь искали через ортогональную проекцию, нужен угол между плоскостями; по одной длине диагонали её восстановить нельзя.

Справочные материалы: Сечение многогранника плоскостью — исходная тема. Связанные уроки: Параллелепипед, Что такое многогранник.

Кратко о главном

• Сечение многогранника — многоугольник от пересечения с плоскостью.
• Стороны сечения лежат в гранях, по которым проходит плоскость.
• Точки в одной грани соединяют, в параллельных гранях линии параллельны.
• Основные приёмы — метод следов и внутреннее проектирование.