Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

В методе координат прямую тоже можно задать уравнением — равенством, которому удовлетворяют координаты всех её точек и только их. Общее уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, где числа a и b одновременно не равны нулю. Любая прямая на плоскости описывается таким уравнением, и наоборот: каждое подобное уравнение задаёт прямую.

Уравнение с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси ординат, её удобно записать в виде y = kx + m. Здесь k — угловой коэффициент, показывающий наклон прямой, а m — ордината точки пересечения с осью ординат. Чем больше k по модулю, тем круче прямая идёт. При положительном k прямая поднимается слева направо, при отрицательном — опускается, при нулевом — горизонтальна.

Прямая, параллельная оси

Прямую, параллельную оси ординат, нельзя записать через угловой коэффициент: у неё все точки имеют одинаковую абсциссу, поэтому уравнение принимает вид x = const. Аналогично горизонтальная прямая задаётся уравнением y = const. Эти случаи как раз и объясняют, почему в общем уравнении сохраняют оба коэффициента a и b.

Построение прямой

Чтобы построить прямую по уравнению, достаточно найти две её точки, ведь через две точки проходит единственная прямая. Обычно подставляют удобные значения переменной и вычисляют пары координат, затем проводят прямую через полученные точки. Удобно брать точки пересечения с осями: при x = 0 находят пересечение с осью ординат, при y = 0 — с осью абсцисс.

Разобранный пример

Дано уравнение 2x + y - 4 = 0. Приведём к виду с угловым коэффициентом и найдём две точки.

Выразим y: y = -2x + 4. Значит k = -2, m = 4.

При x = 0 получаем y = 4; при x = 2 получаем y = 0. Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; 0). Угловой коэффициент отрицателен, поэтому прямая убывает — это согласуется с тем, что при росте x значение y уменьшается.

Частые ошибки. В общем уравнении нельзя одновременно занулять a и b — иначе это уже не прямая. Условие перпендикулярности — именно произведение угловых коэффициентов, равное минус единице, а не их равенство. Вертикальную прямую нельзя задать формулой с угловым коэффициентом.

Прямая через две точки без деления на ноль

Для различных A = (x₁;y₁), B = (x₂;y₂) уравнение прямой можно записать как (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0. Оно выражает коллинеарность AM и AB и подходит также для вертикальных и горизонтальных прямых. В дробной записи с отношениями координат сначала пришлось бы проверять знаменатели.

Оригинальный пример

A = (−1;2), B = (3;4). Получаем 2(x + 1) − 4(y − 2) = 0, то есть x − 2y + 5 = 0. Проверка: −1 − 4 + 5 = 0 и 3 − 8 + 5 = 0. Нормаль n = (1; −2), направляющий вектор можно взять v = (2;1); их произведение 2 − 2 = 0.

Параметрическая форма

Та же прямая задаётся x = −1 + 4t, y = 2 + 2t, t — любое действительное число. При t = 0 получаем A, при t = 1 — B. Ограничение 0 ≤ t ≤ 1 задаст отрезок AB, а t ≥ 0 — луч AB. Без ограничения параметра получается вся прямая.

Уравнение линии — это условие для всех её точек

Точка принадлежит линии, если её координаты удовлетворяют уравнению. Например, x² + y² = 9 задаёт окружность, а y = x² — параболу. Эти линии нельзя назвать прямыми: в общем случае их уравнения не имеют вида ax + by + c = 0 с a² + b² > 0.

Умножение всех коэффициентов уравнения прямой на одно ненулевое число её не меняет. Поэтому x − 2y + 5 = 0 и 3x − 6y + 15 = 0 задают одну прямую. Равные угловые коэффициенты могут означать как разные параллельные прямые, так и совпадение; для различения проверяют свободные члены.

Справочные материалы: Уравнение прямой на плоскости — исходная тема; Уравнение прямой на плоскости — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Векторы в пространстве.

Кратко о главном

• Общее уравнение прямой: ax + by + c = 0.
• Уравнение с угловым коэффициентом: y = kx + m.
• Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
• У перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно -1.
• Для построения достаточно найти две точки, удобнее всего — на осях.