Свойство медиан и центроид
📏 Геометрия · 8 класс
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. У треугольника ровно три медианы, и все они пересекаются в одной точке. Эту точку называют центроидом, или центром тяжести, и обозначают обычно буквой M. Свойство пересечения медиан — одно из ключевых в геометрии 8 класса.
Главное свойство медиан
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что от вершины до центроида укладывается две части, а от центроида до середины противоположной стороны — одна часть. Так происходит со всеми тремя медианами одновременно.
| Отрезок медианы | Доля от всей медианы |
|---|---|
| От вершины до центроида | 2/3 |
| От центроида до стороны | 1/3 |
Как пользоваться свойством
Если медиана равна m, то расстояние от вершины до центроида равно (2/3)·m, а расстояние от центроида до стороны — (1/3)·m. Зная любую одну часть, можно найти и всю медиану, и вторую её часть. Это часто требуется в задачах, где известна только часть отрезка.
Пример. Медиана AK = 12 см.
От вершины A до центроида M: AM = (2/3)·12 = 8 см.
От центроида M до середины K: MK = (1/3)·12 = 4 см.
Проверка: 8 + 4 = 12 ✓, и 8 : 4 = 2 : 1 ✓
Обратная задача
Пусть известно, что от центроида до середины стороны расстояние равно 3 см. Тогда от вершины до центроида — вдвое больше, то есть 6 см, а вся медиана равна 3 + 6 = 9 см. Умение переходить от части к целому и обратно — основа решения подобных задач.
Ещё один пример
Три медианы треугольника равны 9, 12 и 15 сантиметрам. Найдём расстояния от центроида до каждой вершины.
До первой вершины: (2/3)·9 = 6 см
До второй вершины: (2/3)·12 = 8 см
До третьей вершины: (2/3)·15 = 10 см
А расстояния от центроида до середин сторон будут втрое меньше всей медианы: 3, 4 и 5 сантиметров соответственно. Видно, что центроид расположен ближе к серединам сторон, чем к вершинам.
Центр тяжести
Название «центр тяжести» не случайно. Если вырезать треугольник из однородного материала и подвесить его в центроиде, фигура будет находиться в равновесии. Кроме того, три медианы разбивают треугольник на шесть маленьких треугольников, и все шесть имеют одинаковую площадь — они равновеликие. Это следствие того, что медиана делит треугольник на две части равной площади.
Правило и частая ошибка. Отношение 2:1 отсчитывается ВСЕГДА от вершины к стороне. Если перепутать направление и записать 1:2, ответ будет неверным. Запомните: большая часть медианы всегда прилегает к вершине.
Приём удвоения медианы
Пусть AM — медиана треугольника ABC, то есть M — середина BC. Продолжите AM за M и отложите MD = AM. В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC пересекаются и делятся пополам, поэтому это параллелограмм.
Порядок вершин важен: обход границы идёт A → B → D → C. Если записать ABCD, отрезки AD и BC уже не будут его диагоналями, а доказательство потеряет смысл.
Что даёт дополнительная точка
- AD = 2AM: искомая медиана становится половиной диагонали.
- BD = AC и CD = AB как противоположные стороны параллелограмма.
- Появляются пары параллельных прямых, удобные для переноса углов.
Из равенства суммы квадратов диагоналей параллелограмма сумме квадратов его сторон следует AD² + BC² = 2AB² + 2AC². Поскольку AD = 2AM, получаем AM = √(2AB² + 2AC² − BC²)/2. Это длина медианы к стороне BC.
Оригинальный расчёт
AB = 7 см, AC = 9 см, BC = 8 см. Тогда AD² = 2·49 + 2·81 − 64 = 196, AD = 14 см, а AM = 7 см. Проверка по медианной формуле даёт тот же результат: AM² = (49 + 81)/2 − 64/4 = 65 − 16 = 49.
Когда приём уместен: в условии есть медиана и длины сторон, требуется связь сторон с медианой или нужно получить параллелограмм. Если дан отрезок к произвольной точке BC, сначала нельзя объявлять его медианой: нужно доказать BM = MC.
Удвоение медианы не означает, что она стала высотой или биссектрисой. В произвольном треугольнике такие свойства без дополнительных условий отсутствуют.
Справочные материалы: Главное свойство медиан — исходная тема. Связанные уроки: Метод координат, Площадь треугольника.
Кратко о главном
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде.
- Центроид делит каждую медиану в отношении
2:1, считая от вершины. - Большая часть (2/3) прилегает к вершине, меньшая (1/3) — к стороне.
- Медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.