Расстояние от точки до плоскости
📏 Геометрия · 10 класс
Перпендикуляр и наклонная, понятие расстояния от точки до плоскости и до прямой в пространстве.
Практика и разбор обновлены 27 октября 2026 года.
Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Это кратчайшее из всех расстояний от данной точки до точек плоскости.
Расстояние измеряется по перпендикуляру
Длина произвольного отрезка от точки до плоскости не является расстоянием: нужен перпендикуляр. В координатном методе это условие выражено формулой с нормальным вектором плоскости. Знак ориентированного выражения убирается модулем.
Задача для самостоятельной попытки
Найдите расстояние от P(1; 2; 3) до плоскости 2x − y + 2z − 3 = 0.
Решение по шагам
Используем |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). В числителе |2 − 2 + 6 − 3| = 3. В знаменателе √(4 + 1 + 4) = 3. Расстояние равно 1.
Где обычно ошибаются
Не забывайте нормирующий знаменатель и модуль. Если уравнение плоскости умножить на два, расстояние не изменится: числитель и знаменатель увеличатся одинаково. Отрицательного расстояния быть не может.
Проверка результата
Проверьте простой случай: от точки (2; −1; 5) до плоскости z = 0 расстояние равно 5. Затем сопоставьте его с общей формулой. Координаты точки в плоскости дали бы нулевой числитель — это ещё один контроль результата.
Перпендикуляр и наклонная
Пусть из точки A, не лежащей в плоскости, проведены перпендикуляр AH и наклонная AM. Отрезок HM называют проекцией наклонной. Между этими отрезками выполняются важные соотношения.
- Перпендикуляр всегда короче любой наклонной из той же точки.
- Равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот.
- Большей наклонной соответствует большая проекция.
| Отрезок | Обозначение | Свойство |
|---|---|---|
| Перпендикуляр | AH | кратчайший |
| Наклонная | AM | длиннее перпендикуляра |
| Проекция | HM | основание наклонной |
Расстояние от точки до прямой
Аналогично определяется расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. А расстоянием между параллельными плоскостями называют расстояние от любой точки одной плоскости до другой; оно одинаково для всех точек. Точно так же расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью считают расстояние от любой точки прямой до плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах
При нахождении расстояний часто помогает теорема о трёх перпендикулярах. Она утверждает: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Эта теорема позволяет сводить пространственную задачу к плоской, выделяя удобный прямоугольный треугольник, в котором один катет — искомый перпендикуляр.
Как находят расстояние
В задачах расстояние от точки до плоскости находят несколькими способами. Первый — построить перпендикуляр и найти его длину из прямоугольного треугольника. Второй — объёмный: если точка является вершиной пирамиды с известным объёмом, то высоту, опущенную на грань, выражают через объём и площадь этой грани. Третий — координатный, по готовой формуле. Выбор способа зависит от данных задачи.
Координатная формула расстояния от точки M(x0; y0; z0) до плоскости ax + by + cz + d = 0:
ρ = |a·x0 + b·y0 + c·z0 + d| / √(a² + b² + c²)
Разобранный пример
Найдём расстояние от точки M(2; 0; 0) до плоскости x + 2y + 2z − 5 = 0.
ρ = |1·2 + 2·0 + 2·0 − 5| / √(1 + 4 + 4) = |−3| / 3 = 1
Частые ошибки. Расстоянием считают именно перпендикуляр, а не любой отрезок до плоскости. В числителе координатной формулы обязательно берут модуль, иначе можно получить отрицательное расстояние.
Кратко о главном
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра.
- Перпендикуляр всегда короче наклонной из той же точки.
- Равным наклонным соответствуют равные проекции.
- Расстояние удобно находить через координатную формулу с модулем.