Трапеция и её виды
📏 Геометрия · 8 класс
Что такое трапеция, равнобедренная и прямоугольная трапеции, их свойства и площадь.
Что такое трапеция
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный обоим основаниям, — это высота трапеции.
Трапецию легко узнать в жизни: так выглядят многие крыши, опоры мостов, ведро в разрезе. Среди трапеций выделяют два особых вида.
Виды трапеций
- Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны. У неё углы при каждом основании равны, а диагонали равны между собой.
- Прямоугольная трапеция — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то есть совпадает с высотой. У неё два прямых угла.
Равнобедренная трапеция симметрична относительно прямой, проходящей через середины оснований. Именно поэтому около неё всегда можно описать окружность. Кроме того, у равнобедренной трапеции диагонали равны между собой, а высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника. Это позволяет находить боковую сторону и высоту через разность оснований.
Важно различать признаки: углы при одном основании у равнобедренной трапеции равны, а углы при разных основаниях — соседние, поэтому их сумма равна ста восьмидесяти градусам. У прямоугольной трапеции, наоборот, два угла прямые, а два других дополняют друг друга до ста восьмидесяти градусов.
Средняя линия
Особую роль играет средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям, а её длина равна полусумме оснований:
m = (a + b) / 2Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Это удобно записывать и через среднюю линию.
| Формула | Обозначения |
|---|---|
S = ((a + b) / 2) · h | a, b — основания, h — высота |
S = m · h | m — средняя линия |
Разбор примера
Основания трапеции равны 6 и 10 сантиметрам, высота — 4 сантиметра. Найдём среднюю линию и площадь.
Средняя линия m = (6 + 10) / 2 = 8 см.
Площадь S = m · h = 8 · 4 = 32 см².Как найти высоту равнобедренной трапеции
Если у равнобедренной трапеции известны оба основания и боковая сторона, высоту находят так. Из вершины меньшего основания опускают высоту на большее основание. Получается прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — боковая сторона, а один из катетов равен половине разности оснований. Тогда высота вычисляется по теореме Пифагора. Этот приём — стандартный способ перейти от трапеции к прямоугольному треугольнику.
Частые ошибки. Высота — это перпендикуляр между основаниями, а не боковая сторона (кроме прямоугольной трапеции). Также нельзя считать площадь как «полусумма всех сторон»: в формулу входят только основания. И не каждый четырёхугольник с парой параллельных сторон — трапеция: если параллельны обе пары сторон, это уже параллелограмм.
Кратко о главном
- Трапеция — четырёхугольник ровно с одной парой параллельных сторон.
- Бывает равнобедренной (равные боковые стороны) и прямоугольной (два прямых угла).
- Средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им.
- Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту.