Алгебра

Алгебраические выражения

Переменные, числовые и буквенные выражения. Допустимые значения переменной.

Одночлены

Одночлен, коэффициент, степень одночлена. Умножение и деление одночленов.

Многочлены 7 класс: объяснение

Многочлен — сумма одночленов: 3x² + 2x − 5. Стандартный вид, степень многочлена, сложение, вычитание, умножение многочленов, формулы — объяснение с примерами для 7 класса.

Умножение многочленов

Умножение многочлена на одночлен, умножение многочленов. Правило FOIL.

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности.

Как разложить на множители 7 класс

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения. Способы: вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения — с примерами для 7 класса.

Линейные уравнения

Уравнение ax + b = 0, решение линейных уравнений с одной переменной.

Системы уравнений 7 класс: способы решения

Систему линейных уравнений решают подстановкой, сложением или графически. Что такое решение системы, пошаговые примеры каждого способа, задания с ответами для 7 класса.

Линейные неравенства

Числовые промежутки, решение линейных неравенств, запись ответа.

Понятие функции

Функция и её график. Линейная функция y = kx + b, прямая пропорциональность.

Степень с натуральным показателем

Что такое степень числа, как читать запись с основанием и показателем и для чего нужна степень в алгебре.

Свойства степеней с натуральным показателем

Правила умножения, деления и возведения степени в степень — основа преобразований выражений со степенями.

Что такое тождество 7 класс

Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных: a + b = b + a. Тождественно равные выражения, тождественные преобразования, примеры доказательства тождеств для 7 класса.

Координатная плоскость

Оси координат, начало отсчёта и правило, по которому каждой точке плоскости соответствует пара чисел.

Линейная функция и её график

Формула линейной функции, смысл углового коэффициента и построение прямой по двум точкам.

Прямая пропорциональность: что значит прямо пропорционально

Прямо пропорционально — значит, при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз: y = kx. График, коэффициент k, примеры и задачи для 7 класса.

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Как составить уравнение по условию задачи, решить его и проверить ответ по смыслу задачи.

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы и куба разности двух выражений: вывод, запоминание и применение для быстрого возведения в третью степень.

Сумма и разность кубов

Формулы разложения суммы и разности кубов на множители и их использование при упрощении выражений.

Вынесение общего множителя за скобки

Первый приём разложения многочлена на множители: как находить общий множитель и выносить его за скобки.

Метод группировки 7 класс

Способ группировки — разложение многочлена на множители: объединяем слагаемые в группы, выносим общий множитель из каждой, затем — общий множитель из всего выражения. Алгоритм и примеры.

Раскрытие скобок и приведение подобных

Правила раскрытия скобок со знаками плюс и минус, умножение на число и приведение подобных слагаемых.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Правило деления степеней с равными основаниями, нулевой показатель степени и условие применимости формулы.

Линейные уравнения с модулем

Понятие модуля числа и решение простейших линейных уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Когда прямые параллельны, пересекаются или совпадают: связь между угловыми коэффициентами линейных функций.

Графический способ решения систем уравнений

Решение системы двух линейных уравнений с помощью построения графиков и определения точки пересечения прямых.

Степень произведения и степень частного

Возведение в степень произведения и дроби: вывод правил и их применение при упрощении буквенных выражений.

Квадрат суммы и квадрат разности

Две формулы сокращённого умножения для возведения суммы и разности двух выражений в квадрат.

Разность квадратов

Формула, превращающая разность квадратов двух выражений в произведение их суммы и разности.

Числовые выражения и их значения

Что такое числовое выражение, как находить его значение и какие действия выполнять первыми.

Степень с нулевым показателем

Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно единице и как это применять.

Стандартный вид числа

Запись больших и малых чисел в виде произведения числа от 1 до 10 на степень десяти.

Область определения функции

Множество допустимых значений аргумента и как находить область определения функции.

Способы задания функции

Формула, таблица, график и описание словами как четыре способа задать функцию.

Метод подстановки при решении систем

Алгоритм решения системы линейных уравнений выражением одной переменной через другую.

Метод сложения при решении систем

Решение системы уравнений путём сложения или вычитания уравнений для исключения переменной.

Задачи на составление систем уравнений

Как переводить условие текстовой задачи на язык системы из двух уравнений.

Числовые промежутки

Интервалы, отрезки, лучи и полуинтервалы на числовой прямой и их обозначения.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида с двумя неизвестными, его решения как пары чисел и график-прямая.

Стандартный вид многочлена

Как привести многочлен к стандартному виду: приведение подобных и упорядочивание по убыванию степеней.

Степень многочлена

Что такое степень многочлена и одночлена, как её находить и зачем она нужна.

Корень уравнения

Что называют корнем уравнения, как проверить корень и сколько корней может быть у линейного уравнения.

Пропорция и её свойства

Что такое пропорция, основное свойство пропорции и как находить неизвестный член.

Нули функции

Что такое нуль функции, как его находить по формуле и по графику линейной функции.

График функции y = |x|

Как строится график функции с модулем y=|x|, его форма, свойства и связь с прямыми.

Как решать задачи на проценты 7 класс

Процент от числа находят умножением числа на проценты и делением на 100; число по проценту — делением на проценты и умножением на 100. Три типа задач, скидки, вклады — примеры 7 класса.

Среднее арифметическое, мода и медиана

Основные статистические характеристики ряда: среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Свойства числовых неравенств

Основные свойства числовых неравенств и правила преобразований при их решении.

Что такое целое выражение

Целое выражение — это выражение из чисел и переменных, соединённых сложением, вычитанием, умножением и делением на число (не на переменную). Как отличить целое выражение от дробного, примеры.

Уравнения со скобками и дробями

Как решать линейные уравнения, содержащие скобки и дроби, приводя их к виду ax = b.

Возрастание и убывание линейной функции

Как по коэффициенту k определить, возрастает или убывает линейная функция, и что это значит для графика.

Числовой коэффициент одночлена

Что такое коэффициент одночлена, как его находить и зачем он нужен при сравнении и сложении одночленов.

Подобные одночлены

Какие одночлены называют подобными и как приводить их сложением и вычитанием коэффициентов.

Уравнения без корней и с бесконечным множеством корней

Особые случаи линейного уравнения, когда корней нет или корнем является любое число.

Знак степени и чётность показателя

Как знак степени отрицательного числа зависит от чётности показателя степени.

Сравнение значений выражений

Чтобы сравнить значения выражений, вычисляем каждое или находим их разность: если она положительна, первое больше. Правила сравнения, знаки, примеры с буквами и числами за 7 класс.

График прямой пропорциональности

Как строить прямую, проходящую через начало координат, и как угловой коэффициент влияет на её наклон.

Задачи на движение с помощью уравнений

Как составлять и решать уравнения по задачам о скорости, времени и расстоянии.

Задачи на смеси и сплавы

Как с помощью уравнений решать задачи о концентрации вещества в смесях и сплавах.

Возведение одночлена в степень

Как возводить одночлен в натуральную степень, используя свойства степеней.

Многочлен от нескольких переменных

Что такое многочлен с несколькими переменными и как приводить его к стандартному виду.

Аргумент и значение функции: что такое x и y

Аргумент — это независимая переменная x, значение функции — зависимая переменная y. Как найти значение функции по аргументу и наоборот, таблицы, примеры и задания 7 класса.

Применение нескольких способов разложения на множители

Как комбинировать вынесение множителя, группировку и формулы для полного разложения.

Умножение одночлена на многочлен

Как умножить одночлен на многочлен по распределительному закону и привести результат к стандартному виду.

Деление многочлена на одночлен

Когда многочлен делится на одночлен нацело и как выполнять такое деление почленно.

Сложение и вычитание многочленов

Правила сложения и вычитания многочленов с раскрытием скобок и приведением подобных.

Квадрат трёхчлена

Формула возведения в квадрат суммы трёх слагаемых и её применение в преобразованиях.

Выделение полного квадрата

Приём выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для упрощения выражений.

Уравнения, приводимые к линейным

Как уравнения со степенями и произведениями сводятся к линейным после преобразований.

Задачи на совместную работу

Решение текстовых задач о совместной работе с помощью уравнений и понятия производительности.

Задачи на покупки и стоимость

Составление линейных уравнений в задачах о цене, количестве и общей стоимости.

Чтение графиков реальных зависимостей

Как извлекать информацию из графиков процессов: находить значения, рост и убывание величины.

Распознавание линейной функции по таблице

Признак линейной функции по таблице значений: равные приращения и постоянный угловой коэффициент.

Угловой коэффициент прямой

Смысл углового коэффициента линейной функции и его связь с наклоном прямой на графике.

Действия с числами в стандартном виде

Умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде, с использованием свойств степеней.

Формулы сокращённого умножения в вычислениях

Применение формул сокращённого умножения для быстрого устного счёта числовых выражений.

Проверка тождества подстановкой

Как убедиться, что равенство является тождеством, и почему подстановка чисел не доказывает его.

Что такое рациональная дробь

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Область допустимых значений, основное свойство, сокращение, сложение и умножение дробей с примерами за 8 класс.

Действия с рациональными дробями

Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Квадратный корень: свойства и как решать

Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a: √16 = 4. Свойства корней: √(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b. Как извлекать корень, вынесение множителя, примеры для 8 класса.

Преобразования выражений с корнями

Вынесение множителя из-под корня, введение под корень, рационализация.

Квадратное уравнение

Полное и неполное квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней.

Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами. Разложение на множители.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств через знак дискриминанта и параболу.

Квадратичная функция

График параболы, ось симметрии, вершина, направление ветвей.

Системы с квадратными уравнениями

Системы уравнений, одно из которых квадратное. Графический метод.

Степень с целым отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем, как она связана с дробями и по каким правилам с ней работать.

Стандартный вид числа

Как записывать очень большие и очень малые числа в стандартном виде и зачем это нужно в науке и технике.

Неполные квадратные уравнения 8 класс: примеры

Неполное квадратное уравнение — уравнение, в котором b = 0 или c = 0: ax² = 0, ax² + c = 0, ax² + bx = 0. Как решать каждый вид без дискриминанта, примеры с решением для 8 класса.

Дробные рациональные уравнения

Как решать уравнения с переменной в знаменателе и почему обязательно проверять область допустимых значений.

Числовые неравенства и их свойства

Что означают знаки сравнения чисел и какие свойства неравенств позволяют преобразовывать их без ошибок.

Линейные неравенства с одной переменной

Как решать линейные неравенства, изображать ответ на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.

Функция квадратного корня и её график

Свойства функции квадратного корня, форма её графика-ветви параболы и область определения функции.

Сокращение рациональных дробей

Как раскладывать числитель и знаменатель на множители и сокращать дробь, учитывая область допустимых значений.

Вынесение множителя из-под знака корня

Приём упрощения квадратных корней: выделение полного квадрата и вынесение множителя за знак радикала.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Как избавиться от корня в знаменателе дроби домножением на нужный множитель или на сопряжённое выражение.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант, как по его знаку определить число корней и найти их по общей формуле.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить квадратный трёхчлен на линейные множители через его корни и применить это к дробям.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Как составлять и решать квадратные уравнения в задачах на движение, работу, площади и числа.

Метод интервалов

Универсальный способ решения квадратных и дробно-рациональных неравенств с помощью числовой прямой и знаков.

Числовые промежутки

Виды промежутков, их обозначение, изображение на координатной прямой и пересечение с объединением.

Приближённые вычисления и погрешность

Округление, абсолютная и относительная погрешность приближённого значения и оценка результата.

Функция обратной пропорциональности и её график

Функция вида игрек равен ка делить на икс, её свойства и график — гипербола в двух четвертях.

Основное свойство рациональной дроби

Основное свойство рациональной дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен — значение дроби не изменится. Сокращение дробей, примеры 8 класса.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю и сложить их.

Умножение и деление рациональных дробей

Правила перемножения дробей и деления через умножение на обратную.

Квадратный корень из произведения и дроби

Свойства арифметического квадратного корня для произведения и частного.

Тождество корня из квадрата (модуль)

Почему корень из квадрата числа равен его модулю и как это применять.

Уравнение вида икс в квадрате равно а

Сколько корней имеет простейшее квадратное уравнение в зависимости от знака числа.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, где старший коэффициент равен 1. Как привести уравнение, теорема Виета для подбора корней, примеры для 8 класса.

Формула корней при чётном втором коэффициенте

Упрощённая формула решения квадратного уравнения через четверть дискриминанта.

Задачи на движение, сводящиеся к квадратным уравнениям

Как составить уравнение по условию задачи на скорость, время и расстояние.

График функции игрек равно икс в квадрате

Свойства простейшей параболы и её роль для квадратичной функции.

Степенная функция с натуральным показателем

Графики и свойства функций при чётном и нечётном показателе степени.

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, у которых показатель — любое целое число.

Выделение полного квадрата из трёхчлена

Как преобразовать квадратный трёхчлен к виду квадрат суммы плюс число и зачем это нужно.

Координаты вершины параболы

Формулы для нахождения вершины параболы и построение графика квадратичной функции по ней.

Нули функции и точки пересечения с осями

Как находить нули функции и точки пересечения графика с осями координат.

Теорема, обратная теореме Виета

Как по сумме и произведению подбирать корни и составлять квадратное уравнение.

Биквадратные уравнения: как решать, примеры

Биквадратное уравнение — это уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0; решается заменой x² = t и сводится к квадратному. Алгоритм, отбор корней, 5 решённых примеров для 8 класса.

Уравнения с модулем

Раскрытие модуля по определению и решение простейших уравнений с модулем.

Неравенства с модулем

Решение неравенств с модулем через геометрический смысл и равносильные переходы.

Системы линейных неравенств с одной переменной

Как находить пересечение решений нескольких линейных неравенств.

Что такое двойное неравенство и как его решать

Двойное неравенство — это запись вида a < x < b, объединяющая два неравенства. Как решать: выполняем одинаковые действия со всеми частями; при умножении на отрицательное число знаки меняются.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Понятие средних величин и неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Как найти область определения функции 8 класс

Область определения функции — все значения x, при которых функция имеет смысл: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно. Алгоритм и разобранные примеры для 8 класса.

Что такое кубический корень

Кубический корень из числа a — число, куб которого равен a: ∛27 = 3, ∛(−8) = −2. Свойства, функция y = ∛x и её график, таблица кубов, примеры для 8 класса.

Сложение и вычитание квадратных корней

Как складывать и вычитать корни, приводя их к подобным радикалам.

Умножение и деление квадратных корней

Правила умножения и деления арифметических квадратных корней.

Сравнение значений выражений с корнями

Способы сравнивать числа, содержащие квадратные корни, без калькулятора.

Оценка значения квадратного корня

Как находить целую часть и приближённое значение квадратного корня.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решение уравнений заменой переменной, приводящей к квадратному.

Задачи на совместную работу через квадратные уравнения

Как составлять и решать уравнения в задачах о совместной работе.

Задачи на смеси, сплавы и проценты

Решение текстовых задач о смесях и сплавах с помощью уравнений.

График функции игрек равно модуль икс

Построение и свойства графика функции с модулем переменной.

Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей

Как сдвиги графика влево-вправо и вверх-вниз меняют формулу функции.

Возрастание и убывание функции

Понятие промежутков монотонности и как их находить по графику.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Поиск экстремальных значений функции на промежутке и в вершине параболы.

Рациональные и иррациональные числа

Чем отличаются рациональные и иррациональные числа и как их распознавать.

Рациональные выражения 8 класс: примеры

Рациональное выражение — выражение из чисел и переменных без корней из переменных; иррациональное содержит знак корня. Целые и дробные рациональные выражения, ОДЗ, примеры и задания.

ОДЗ 8 класс: как найти область допустимых значений

ОДЗ — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл: знаменатель не равен нулю, под корнем неотрицательное число. Алгоритм и 6 примеров для 8 класса.

Тождественные преобразования выражений

Что такое тождество и какие преобразования сохраняют равенство выражений при всех значениях переменной.

Уравнения с двумя модулями

Как решать уравнения, в которых стоят два знака модуля, методом промежутков и раскрытия знаков.

График функции игрек равно а делить на икс

Как строить и читать график обратной пропорциональности при разных значениях коэффициента.

Свойства квадратичной функции

Полный разбор свойств параболы: вершина, направление ветвей, монотонность, нули и ось симметрии.

Построение графика квадратичной функции

Пошаговый алгоритм построения параболы по коэффициентам, вершине и нескольким контрольным точкам.

Решение неравенств методом параболы

Как решать квадратные неравенства с опорой на эскиз параболы и расположение её ветвей.

Теорема Виета для приведённого уравнения

Как применять теорему Виета к уравнению со старшим коэффициентом единица для устного подбора корней.

Графический способ решения уравнений

Как находить корни уравнения по точкам пересечения графиков двух функций.

Преобразование выражений с двойным корнем

Как упрощать выражения вида корень из суммы с корнем, выделяя полный квадрат под знаком корня.

Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным

Как с помощью преобразований и замены переменной сводить сложные уравнения к знакомым линейным и квадратным.

Задачи на проценты и концентрацию

Как решать текстовые задачи на проценты, доли вещества и концентрацию растворов в восьмом классе.

Целая и дробная часть числа

Что такое целая и дробная часть числа, их свойства и применение в простых уравнениях.

Полуинвариант: как доказать завершение процесса

Полуинвариант — величина, которая при разрешённых действиях меняется только в одну сторону или остаётся прежней. Если она строго изменяется при каждом ходе, её называют строгим пол

Степени с целым показателем

Степень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.

Квадратный трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.

Числовые последовательности

Понятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.

Геометрическая прогрессия

Знаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.

Степенная функция

y = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.

Уравнения и неравенства с модулем

Определение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.

Вероятность

Случайные события, классическое определение вероятности, формулы.

Статистика

Генеральная совокупность, выборка, характеристики: среднее, дисперсия.

Арифметическая прогрессия

Последовательность с постоянной разностью: формула n-го члена и сумма первых членов.

Системы уравнений второй степени

Решение систем, где есть уравнение второй степени: способы подстановки и сложения.

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения с переменной в знаменателе: общий знаменатель и область допустимых значений.

Неравенства второй степени с одной переменной

Решение квадратных неравенств через параболу и знаки на координатной прямой.

Метод интервалов

Универсальный способ решения рациональных неравенств с помощью числовой прямой.

Область определения функции

Множество допустимых значений аргумента: дроби, корни и их сочетания.

Функция «квадратный корень» и преобразования графиков

График функции корня и сдвиги графиков вдоль осей координат.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Как вывести и применять формулу суммы первых членов арифметической прогрессии при решении задач.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии, её вывод и применение в задачах.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формула суммы всех её членов.

Квадратичная функция и её график

Свойства квадратичной функции, координаты вершины параболы и построение её графика.

Свойства функций: возрастание, убывание, чётность

Основные свойства числовых функций: монотонность, чётность и нечётность, нули функции.

Целые уравнения и их корни

Целые уравнения, степень уравнения и способы их решения, включая разложение на множители.

Графический способ решения систем уравнений

Решение систем уравнений построением графиков и определение числа решений по их расположению.

Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания

Правило умножения и формулы перестановок, размещений и сочетаний при подсчёте вариантов.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Как находить нули функции и определять промежутки, где функция положительна или отрицательна.

Решение неравенств методом замены переменной

Приём введения новой переменной для сведения сложных неравенств к неравенствам второй степени.

Теорема Виета

Связь корней приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами и обратная теорема для устного подбора.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Формула разложения через корни и применение для сокращения дробей и упрощения выражений.

Метод выделения полного квадрата

Приём преобразования квадратного трёхчлена к виду квадрата двучлена для решения уравнений и поиска вершины параболы.

Свойства арифметического квадратного корня

Корень из произведения, частного и степени; вынесение и внесение множителя под знак корня.

Преобразование графиков функций

Сдвиги вдоль осей, растяжения, сжатия и отражения графиков, заданных формулами.

Как решать биквадратные уравнения: примеры

Биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 решают заменой x² = t: получают квадратное уравнение, находят t ≥ 0 и извлекают корни. Алгоритм и 5 примеров с решением для 9 класса.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Универсальный приём замены повторяющегося выражения новой буквой для упрощения уравнений.

Системы уравнений: метод подстановки

Решение систем выражением одной переменной через другую и подстановкой в оставшееся уравнение.

Решение текстовых задач на движение

Составление уравнений по связи пути, скорости и времени; движение по реке, навстречу и вдогонку.

Решение текстовых задач на совместную работу

Понятие производительности, связь работы и времени, задачи о совместном выполнении работы.

Решение задач на смеси, сплавы и концентрацию

Понятие концентрации и доли вещества; составление уравнений при смешивании растворов и сплавов.

Рекуррентный способ задания последовательностей

Задание последовательности через предыдущие члены; сравнение с формулой n-го члена на примерах.

Неравенства с двумя переменными

Как изображать на координатной плоскости множество решений неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Графический способ решения уравнений

Как находить корни уравнения по точкам пересечения графиков двух функций и оценивать число решений.

Системы уравнений: метод сложения

Алгебраическое сложение уравнений системы для исключения переменной и нахождения решения.

Функция обратной пропорциональности

Свойства функции y = k/x, её график-гипербола, область определения и поведение в зависимости от знака k.

Тождественные преобразования целых выражений

Приёмы упрощения многочленов: вынесение множителя, формулы сокращённого умножения, приведение подобных.

Степень с рациональным показателем

Понятие степени с дробным показателем, связь с корнями и правила действий с такими степенями.

Решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Как переводить условие задачи на язык системы уравнений с двумя неизвестными и доводить решение до ответа.

Чётные и нечётные функции

Определения чётности и нечётности функции, признаки симметрии графика и способы проверки.

Относительная частота случайного события

Понятие частоты и относительной частоты события, их связь со статистической вероятностью.

Характеристики числового ряда: среднее, мода, медиана, размах

Как вычислять среднее арифметическое, моду, медиану и размах ряда данных и что они показывают.

Дискриминант и число корней квадратного уравнения

Формула дискриминанта, его связь с количеством корней и формула корней квадратного уравнения.

Наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции

Как по координатам вершины параболы находить экстремальное значение функции и промежутки монотонности.

Деление многочленов уголком

Алгоритм деления многочлена на многочлен «столбиком» с выделением частного и остатка.

Теорема Безу и поиск корней многочлена

Как остаток от деления связан со значением многочлена и как подбирать рациональные корни.

Симметрические системы уравнений

Решение систем, не меняющихся при перестановке переменных, через сумму и произведение.

Метод оценки при решении уравнений

Сравнение левой и правой частей по их наибольшему и наименьшему значениям.

Дробно-линейная функция и её график

Функция вида отношения двух линейных выражений, гипербола со сдвигом и асимптоты.

Линейные уравнения с параметром

Исследование числа решений уравнения в зависимости от значения параметра.

Знак сигма в математике: что значит Σ

Сигма (Σ) в математике — это знак суммы: Σ от i=1 до n означает сложить все члены с номерами от 1 до n. Как читать запись, пределы суммирования, примеры и свойства.

Признаки делимости и остатки

Признаки делимости натуральных чисел и работа с остатками от деления.

Задачи на проценты и банковские вклады

Простые и сложные проценты, расчёт вклада и прироста за несколько периодов.

Среднее арифметическое, геометрическое и неравенство между ними

Виды средних двух положительных чисел и неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Преобразование дробей с корнями домножением на сопряжённое выражение.

Метод математической индукции

Доказательство утверждений, зависящих от натурального числа, базой и шагом индукции.

Транснеравенство: как выгодно соединять два упорядоченных набора

Транснеравенство, или неравенство о перестановках, сравнивает суммы попарных произведений двух упорядоченных наборов. Наибольшая сумма получается при одинаковом порядке, наименьшая

Тригонометрические функции

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определение через единичную окружность.

Тригонометрические формулы 10 класс: таблица

Все формулы тригонометрии: основное тождество, формулы сложения, двойного угла, понижения степени, суммы и произведения (умножения), приведения. Таблица с пояснениями и примерами для 10 класса.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения, обратные тригонометрические функции.

Показательная функция

y = a^x, свойства, график, область определения и значений.

Логарифмы

Определение логарифма, свойства логарифмов, формула перехода.

Логарифмическая функция

y = log_a(x), свойства, график, область определения.

Показательные и логарифмические уравнения

Методы решения: потенцирование, введение замены, графический метод.

Комбинаторика

Перестановки, сочетания, размещения. Формулы и задачи.

Числовая последовательность и её свойства

Что такое числовая последовательность, способы её задания, монотонность и ограниченность.

Предел числовой последовательности

Понятие предела последовательности, основные теоремы о пределах и сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Производная функции: определение и смысл

Определение производной через предел, её геометрический и физический смысл, уравнение касательной.

Правила дифференцирования

Производные суммы, произведения, частного и сложной функции, таблица производных основных функций.

Применение производной к исследованию функций

Как с помощью производной находить промежутки монотонности, экстремумы и строить график функции.

Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Арифметический корень n-й степени, его свойства и переход к степени с рациональным показателем.

Обратные тригонометрические функции

Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, их области значений и основные свойства.

Радианная мера угла

Что такое радиан, как переводить градусы в радианы и обратно, длина дуги и площадь сектора через радианную меру.

Формулы приведения

Как сводить тригонометрические функции углов вида 90°±α и 180°±α к функциям острого угла по простому правилу.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы суммы и разности синусов и косинусов и их применение для упрощения выражений и решения уравнений.

Метод вспомогательного угла

Метод вспомогательного угла позволяет свести выражение a·sin x + b·cos x к виду √(a²+b²)·sin(x + φ), где φ — вспомогательный угол. Вывод формулы, решение уравнений и примеры для 10 класса.

Свойства логарифмов и переход к новому основанию

Логарифм произведения, частного, степени и формула перехода к новому основанию с разобранными примерами.

Показательные и логарифмические неравенства

Как решать неравенства с показательной и логарифмической функцией с учётом монотонности и области определения.

Обратная функция и её график

Что такое обратная функция, условие её существования и симметрия графиков относительно прямой y равно x.

Степенная функция и её свойства

Степенная функция с разными показателями: область определения, чётность, монотонность и поведение графика.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Формула бинома Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и нахождение конкретного члена разложения.

Уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной и вывод уравнения касательной к графику функции в заданной точке.

Числовая окружность

Единичная окружность как модель для определения синуса и косинуса любого угла.

Знаки синуса, косинуса, тангенса по четвертям

Синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV, тангенс и котангенс — в I и III. Таблица знаков, тригонометрический круг, как запомнить и примеры для 10 класса.

Основное тригонометрическое тождество

Связь синуса и косинуса одного угла и вывод остальных тождеств из неё.

Формулы двойного угла

Выражение синуса, косинуса и тангенса удвоенного угла через функции одинарного.

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени и выражение функций половинного угла.

Чётность и периодичность функций

Чётные, нечётные и периодические функции и проявление этих свойств на графике.

Десятичные и натуральные логарифмы

Логарифмы по основанию 10 и по основанию e, их обозначения и применение.

Число e и его смысл

Откуда берётся число e, его роль в показательной функции и в анализе.

Механический смысл производной

Производная как мгновенная скорость и ускорение в задачах о движении.

Производная сложной функции

Правило дифференцирования композиции функций — цепное правило.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Алгоритм поиска экстремальных значений непрерывной функции на отрезке.

Метод интервалов: как решать неравенства

Метод интервалов: находим нули числителя и знаменателя, отмечаем их на прямой, определяем знак на каждом интервале и выбираем нужные. Алгоритм по шагам и примеры для 10 класса.

Тригонометрические неравенства

Как решать простейшие тригонометрические неравенства с помощью числовой окружности и записывать ответ.

Формулы сложения для синуса, косинуса и тангенса

Формулы синуса и косинуса суммы и разности углов и их применение к вычислениям.

Графики тригонометрических функций: синусоида, тангенс

График синуса — синусоида, косинуса — косинусоида (сдвинутая синусоида), тангенса и котангенса — тангенсоида с вертикальными асимптотами. Свойства, период, построение, 10 класс.

Однородные тригонометрические уравнения

Решение однородных уравнений первой и второй степени делением на косинус.

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы, превращающие произведение синусов и косинусов в сумму или разность.

Таблица производных элементарных функций

Производные степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

Первообразная функции

Понятие первообразной, основное свойство и таблица первообразных элементарных функций.

Промежутки монотонности и экстремумы функции

Как по знаку производной находить возрастание, убывание и точки экстремума.

Выпуклость функции и точки перегиба

Исследование выпуклости графика с помощью второй производной и поиск точек перегиба.

Размещения, перестановки и сочетания

Три основные комбинаторные конфигурации, их формулы и отличия друг от друга.

Метод замены переменной в показательных уравнениях

Сведение показательного уравнения к квадратному с помощью введения новой переменной.

Частные случаи тригонометрических уравнений

Частные случаи: sin x = 0 → x = πn; sin x = ±1 → x = ±π/2 + 2πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = ±1 → x = 2πn или π + 2πn. Таблица, тригонометрический круг и примеры.

Предел функции

Понятие предела, односторонние пределы, бесконечно малые и большие.

Производная 11 класс: определение, формулы, правила

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента; показывает скорость изменения функции. Таблица производных, правила дифференцирования, примеры для 11 класса.

Таблица производных

Производные основных элементарных функций. Правило сложной функции.

Применение производной

Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба. Наибольшее и наименьшее.

Первообразная и интеграл

Понятие первообразной, таблица первообразных, правила интегрирования.

Определённый интеграл

Формула Ньютона–Лейбница. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Системы уравнений и неравенств

Сложные системы, метод замены переменной, решение с параметром.

Комплексные числа

Мнимая единица, форма записи, действия с комплексными числами.

Логарифмическая функция

Определение, свойства и график логарифмической функции, область определения и монотонность.

Логарифмические уравнения

Методы решения логарифмических уравнений: потенцирование, замена переменной, область допустимых значений.

Показательная функция и уравнения

Свойства показательной функции и приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс: определения, области значений и графики.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения и общие формулы корней для синуса, косинуса и тангенса.

Степенная функция и корень n-й степени

Корень n-й степени, степень с рациональным показателем и свойства степенной функции.

Площадь фигуры через интеграл

Вычисление площади криволинейной трапеции и фигур между графиками с помощью определённого интеграла.

Производная сложной функции

Правило дифференцирования композиции функций и разбор примеров с цепочкой вложений.

Уравнение касательной к графику функции

Как составить уравнение касательной в точке через значение функции и производной.

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Исследование монотонности и точек максимума и минимума функции с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.

Вторая производная, выпуклость и точки перегиба

Как по второй производной определить выпуклость графика и найти точки перегиба.

Полное исследование функции и построение графика

Общая схема исследования функции и построения её графика по этой схеме.

Логарифмические неравенства

Методы решения логарифмических неравенств с учётом области допустимых значений.

Показательные неравенства

Решение показательных неравенств с опорой на монотонность показательной функции.

Тригонометрические неравенства

Решение простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

Формула Ньютона — Лейбница

Связь определённого интеграла с первообразной и вычисление интегралов по этой формуле.

Физический смысл производной

Производная как мгновенная скорость и ускорение: связь пути, скорости и времени в задачах механики.

Дифференциал функции

Понятие дифференциала, его геометрический смысл и применение к приближённым вычислениям.

Метод замены переменной в интеграле

Как вычислять неопределённые интегралы подстановкой новой переменной и не ошибаться со знаком.

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям и выбор множителей для интегралов с произведением функций.

Объём тела вращения через интеграл

Вычисление объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси.

Асимптоты графика функции

Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты и их нахождение через пределы.

Логарифмическое дифференцирование

Приём нахождения производной степенно-показательных функций через логарифмирование.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Модуль, аргумент и запись комплексного числа через косинус и синус, умножение и деление.

Формула Муавра и корни из комплексного числа

Возведение в степень и извлечение корней комплексных чисел в тригонометрической форме.

Преобразование графиков функций

Сдвиги, растяжения и отражения графиков как способ строить сложные функции из простых.

Текстовые задачи на наибольшее и наименьшее значение

Оптимизация в прикладных задачах: как составить функцию и найти её экстремум с помощью производной.

Уравнения и неравенства с параметром

Исследование решений в зависимости от параметра графическим и аналитическим методами.

Неопределённый интеграл и его свойства

Что такое неопределённый интеграл, как он связан с первообразной и какие свойства позволяют его вычислять.

Таблица основных интегралов

Список табличных интегралов элементарных функций и правила работы с ними при вычислениях.

Геометрический смысл производной

Почему производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и как это применять.

Критические и стационарные точки функции

Стационарные точки — это точки, где производная равна нулю; критические — где производная равна нулю или не существует. Как найти, связь с экстремумами, примеры решений для 11 класса.

Уравнение нормали к графику функции

Как составить уравнение прямой, перпендикулярной касательной в точке графика.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в виде a плюс bi.

Модуль и аргумент комплексного числа

Как найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить его на плоскости.

Свойства логарифмов и преобразование выражений

Основные тождества логарифмов и переход к новому основанию при упрощении выражений.

Чётность, нечётность и периодичность функции

Как определить чётность, нечётность и период функции и что это даёт при исследовании.

Область определения и область значений функции

Как находить допустимые значения аргумента и множество значений функции.

Метод интервалов при решении неравенств

Универсальный способ решения рациональных и иных неравенств через знаки на интервалах.

Средняя и мгновенная скорость как приложение производной

Как через производную перейти от средней скорости к мгновенной в задачах о движении.

Супремум и инфимум: точные границы числового множества

Супремум числового множества — наименьшая из его верхних граней. Инфимум — наибольшая из нижних. Грань ограничивает все элементы с одной стороны, но не обязана сама принадлежать мн