Действия с рациональными дробями
📐 Алгебра · 8 класс
Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.
Что такое рациональная дробь
Рациональная (алгебраическая) дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (x + 1)/(x − 2). Главное условие существования дроби — знаменатель не равен нулю: значения переменной, обращающие его в ноль, исключаются из области допустимых значений.
Сложение и вычитание
Алгебраические дроби складывают и вычитают по тем же правилам, что и обыкновенные. Если знаменатели одинаковые, складывают (вычитают) числители, а знаменатель оставляют прежним. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем действуют по первому правилу.
Умножение и деление
Чтобы умножить дроби, перемножают отдельно числители и отдельно знаменатели. Чтобы разделить, первую дробь умножают на дробь, обратную второй (то есть «переворачивают» делитель). Перед записью ответа результат сокращают.
| Действие | Правило |
|---|---|
| Сложение (общий знаменатель) | складывают числители |
| Умножение | числитель×числитель, знаменатель×знаменатель |
| Деление | умножить на обратную дробь |
| Сокращение | разделить числитель и знаменатель на общий множитель |
Пошаговый пример
Выполним умножение и сократим: (a² − 9)/(a) · (a)/(a + 3).
Дано: (a² − 9)/a · a/(a + 3)
Шаг 1. Разложим a² − 9 по формуле
разности квадратов:
a² − 9 = (a − 3)(a + 3)
Шаг 2. Записываем произведение:
(a − 3)(a + 3) · a
───────────────────
a · (a + 3)
Шаг 3. Сокращаем a и (a + 3):
остаётся (a − 3)
Ответ: a − 3 (при a ≠ 0 и a ≠ −3).Частые ошибки. 1) Сокращают отдельные слагаемые, а не множители: в (a + 3)/3 сократить нельзя, тройки не являются множителями всего числителя. 2) Забывают указать ограничения на знаменатель. 3) При вычитании дробей с общим знаменателем не меняют знаки всех членов второго числителя.Как привести дроби к общему знаменателю
Если знаменатели разные, для каждой дроби находят дополнительный множитель. Для этого сначала находят наименьший общий знаменатель — обычно произведение разных множителей знаменателей. Затем числитель и знаменатель каждой дроби умножают на недостающий множитель. Например, чтобы сложить 1/a и 1/b, общим знаменателем берут ab и получают b/(ab) + a/(ab) = (a + b)/(ab).
Зачем уметь это делать
Действия с рациональными дробями — основа решения дробно-рациональных уравнений и упрощения сложных выражений в старших классах. Кто уверенно сокращает и приводит дроби к общему знаменателю, легко справится с дальнейшими темами. Перед сокращением числитель и знаменатель почти всегда сначала раскладывают на множители — без этого общий множитель просто не виден.
Кратко о главном
- Рациональная дробь — это отношение двух многочленов, знаменатель ≠ 0.
- При одинаковых знаменателях складывают числители.
- Умножение — перемножить числители и знаменатели; деление — умножить на обратную.
- Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые.
- Всегда учитывают ограничения на знаменатель.