Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы и квадрат разности — это две формулы сокращённого умножения, которые позволяют быстро возводить в квадрат сумму или разность двух выражений, не выполняя умножение многочлена на многочлен в столбик. Эти формулы — одни из самых важных в курсе алгебры седьмого класса, потому что они встречаются при упрощении выражений, разложении на множители и решении уравнений.

Сами формулы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Квадрат разности отличается только знаком среднего слагаемого:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Обратите внимание: квадрат второго выражения всегда прибавляется, ведь квадрат любого числа неотрицателен. Минус появляется только перед удвоенным произведением.

Почему так получается

Раскроем скобки в выражении (a + b)^2 = (a + b)(a + b). Умножая каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй, получаем a*a + a*b + b*a + b*b. Слагаемые a*b и b*a равны, поэтому в сумме дают 2ab. Так и рождается средний член.

Сравнение формул

Разобранный пример

Возведём в квадрат выражение (2x + 3):

(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2*(2x)*3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

Здесь первое выражение — 2x, его квадрат 4x^2; удвоенное произведение — 2*2x*3 = 12x; квадрат второго — 9.

Частые ошибки. Нельзя писать (a + b)^2 = a^2 + b^2 — забывают про средний член. Также путают знак: в квадрате разности минус стоит только перед 2ab, а последнее слагаемое b^2 всегда положительно.

Применение в обратную сторону

Если в выражении узнаётся вид a^2 + 2ab + b^2, его можно свернуть в квадрат суммы. Например, x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2. Это помогает раскладывать многочлены на множители и упрощать громоздкие выражения. Чтобы проверить, является ли трёхчлен полным квадратом, смотрят на крайние слагаемые: если они квадраты, то удвоенное произведение их корней должно совпасть со средним членом.

Геометрический смысл

Формулу квадрата суммы можно увидеть на чертеже. Если взять квадрат со стороной a + b, то его площадь равна (a + b)^2. Этот большой квадрат разбивается на четыре части: квадрат площадью a^2, квадрат площадью b^2 и два одинаковых прямоугольника площадью ab каждый. В сумме получается a^2 + 2ab + b^2. Такое наглядное представление помогает запомнить, откуда берётся удвоенное произведение.

Полезные приёмы устного счёта

Формулы помогают возводить в квадрат числа в уме. Например, 31^2 = (30 + 1)^2 = 900 + 60 + 1 = 961. Аналогично 49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401. Достаточно представить число как сумму или разность круглого числа и небольшой поправки.

Если слагаемых три или больше

При умножении суммы на себя каждый член перемножается с каждым. Квадраты получаются один раз, а произведение двух разных слагаемых — дважды. Поэтому (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Нельзя оставить только три квадрата или только две пары произведений.

Разбор с отрицательным слагаемым

Раскроем (2x − y + 3)². Считаем тремя слагаемыми 2x, −y и 3. Их квадраты: 4x², y², 9. Удвоенные попарные произведения: −4xy, 12x, −6y. Ответ: 4x² + y² + 9 − 4xy + 12x − 6y.

Проверка на числах не заменяет доказательство тождества, но помогает заметить ошибку. При x = 1, y = 2 исходная скобка равна 3, квадрат — 9. В ответе: 4 + 4 + 9 − 8 + 12 − 12 = 9. Алгебраическая проверка — перемножить две одинаковые скобки и привести подобные.

Как не потерять пары

Для четырёх слагаемых a, b, c, d выписывайте пары по порядку: ab, ac, ad; затем bc, bd; затем cd. Всего шесть пар, перед каждой коэффициент 2. К ним прибавляются четыре квадрата. Для n слагаемых число различных пар равно n(n − 1)/2. Слагаемое a нельзя ещё раз учитывать в паре ba: это то же произведение.

Общая запись: (a₁ + … + aₙ)² = a₁² + … + aₙ² + 2∑aᵢaⱼ, где в сумме берут только пары i < j. Это расширение правила двух слагаемых, а не новая операция возведения в степень. Если сумма содержит минусы, включайте знак в само слагаемое.

Попробуйте сами

Раскройте (p + q − 2)². Ответ: p² + q² + 4 + 2pq − 4p − 4q. Затем сверните полученное выражение обратно в квадрат. Если трудно, сначала проверьте три квадрата, затем три пары произведений. Для повторения пригодятся общая таблица ФСУ и разложение на множители.

Кратко о главном

• Квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Квадрат разности: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
• Средний член — удвоенное произведение, его знак совпадает со знаком в скобке.
• Квадраты обоих выражений всегда складываются.
• Формулы работают и в обратную сторону — для разложения на множители.