Числовые неравенства и их свойства

Что такое числовое неравенство

Сравнивая два числа, мы либо устанавливаем их равенство, либо записываем неравенство, показывающее, какое из чисел больше. Числовым неравенством называют запись, в которой два числа или числовых выражения соединены знаком сравнения: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно). В младших классах вы сравнивали числа на глаз или по числовой прямой, а в восьмом классе вводят строгое определение того, какое число следует считать большим. Это определение позволяет не только сравнивать, но и доказывать неравенства.

Определение. Число a больше числа b, если разность a - b — положительное число. Число a меньше b, если разность a - b отрицательна. Если же разность равна нулю, то числа равны.

Это определение очень удобно для доказательств: чтобы сравнить два выражения, достаточно рассмотреть знак их разности. Если разность всегда положительна, то первое выражение всегда больше второго, какие бы значения ни принимали входящие в них буквы.

Основные свойства неравенств

Самое важное свойство

При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства обязательно меняется на противоположный. Это ключевое отличие неравенств от уравнений, и именно здесь чаще всего допускают ошибки. Запомнить правило легко на простом числовом примере.

Из верного неравенства 3 < 5 при умножении обеих частей на -2 получаем -6 > -10 — знак неравенства перевернулся, и новое неравенство тоже верное.

Сложение и умножение неравенств

Неравенства одного знака можно почленно складывать: левую часть с левой, правую с правой. Неравенства одного знака, у которых обе части положительны, можно почленно перемножать. Эти приёмы используют для оценки сумм и произведений, не вычисляя их точно.

Если a > b и c > d, то a + c > b + d. А если вдобавок a > b > 0 и c > d > 0, то верно и ac > bd.

Частые ошибки. Главная ошибка — забыть поменять знак при умножении или делении на отрицательное число. Вторая ошибка — почленно вычитать неравенства друг из друга: так делать нельзя, можно только складывать неравенства одного знака.

Кратко о главном

• Число a больше b, если разность a - b положительна.
• К обеим частям неравенства можно прибавлять любое число, не меняя знак.
• При умножении на положительное число знак сохраняется, на отрицательное — меняется на противоположный.
• Неравенства одного знака можно почленно складывать, а с положительными частями — и перемножать.