Системы линейных неравенств с одной переменной

Система линейных неравенств

Системой неравенств называют несколько неравенств, для которых нужно найти общие решения — значения переменной, удовлетворяющие каждому неравенству одновременно. Решить систему — значит найти пересечение множеств решений всех входящих в неё неравенств. В системе неравенства принято записывать одно под другим и объединять фигурной скобкой, что означает требование выполнить их все сразу.

Порядок решения

1. Решить каждое линейное неравенство по отдельности и записать его решение.
2. Изобразить полученные промежутки на одной общей числовой прямой.
3. Найти их пересечение — ту часть прямой, которая принадлежит всем промежуткам.
4. Записать ответ числовым промежутком, обращая внимание на тип скобок.

Ключевое слово для системы — «и»: решение должно подходить и первому, и второму неравенству одновременно. Поэтому в ответ берут именно пересечение промежутков, а не их объединение.

Разобранный пример

Решим систему из двух неравенств: 2x - 4 > 0 и x - 5 < 0. Решаем каждое неравенство отдельно:

Первое неравенство выполняется при икс больше 2, второе — при икс меньше 5. Оба условия выполняются одновременно при 2 < x < 5. Значит, ответ — промежуток (2; 5).

Когда решений нет

Если промежутки решений отдельных неравенств не пересекаются, то система не имеет решений. Например, для неравенств x > 6 и x < 1 нет ни одного числа, которое было бы одновременно больше 6 и меньше 1. В таком случае ответ — пустое множество.

Совет по оформлению

Чтобы не ошибиться при поиске пересечения, удобно отмечать на числовой прямой решение каждого неравенства своей штриховкой. В ответ берут тот участок, где штриховки накладываются друг на друга. Этот наглядный способ особенно помогает, когда неравенств в системе три и более.

Системы в задачах

Системы линейных неравенств возникают не сами по себе, а в практических задачах, где на величину наложено несколько условий сразу. Например, требуется найти количество товара, которое одновременно не меньше некоторого минимума и не больше вместимости склада. Каждое условие переводят в неравенство, а затем решают полученную систему. Ответом служит промежуток допустимых значений, и из него выбирают подходящие целые числа, если речь идёт о штучных предметах.

Частые ошибки. Берут объединение промежутков вместо пересечения. Забывают менять знак неравенства при делении или умножении на отрицательное число. Неверно отмечают граничные точки, путая строгие и нестрогие знаки.

Совокупность: когда нужно «или», а не «и»

Совокупность требует выполнения хотя бы одного условия. Поэтому её решение — объединение множеств, а решение системы — их пересечение. Совокупность обычно записывают квадратной скобкой слева; обозначение не следует путать со скобкой включённой границы в записи промежутка.

Одни неравенства, два разных вопроса

Рассмотрим x ≥ −2 и x < 4. Для системы нужны оба условия: ответ [−2; 4). Для совокупности достаточно любого: ответ ℝ. Число −5 подходит второму условию, 7 — первому, а между ними находятся числа, подходящие обоим. При этом «или» здесь допускает одновременное выполнение, оно не означает «ровно одно».

Раздельные промежутки

Условия x < −1 и x ≥ 3 не имеют общих решений. Их система даёт пустое множество, а совокупность — (−∞; −1) ∪ [3; +∞). Число 0 не входит ни в один промежуток. Число −1 не включено из-за строгого знака, число 3 включено.

Сначала решаем каждую строку

Решим совокупность 2x + 6 ≤ 0 или 3 − x < 1. Первая строка даёт x ≤ −3. Во второй −x < −2, поэтому после деления на −1 знак меняется: x > 2. Объединение равно (−∞; −3] ∪ (2; +∞). Если ошибочно взять пересечение, получится пустой ответ — это уже решение другой задачи.

Самопроверка

Для условий x ≥ 1 и x > 5 найдите оба ответа. Система: x > 5. Совокупность: x ≥ 1. Более широкий промежуток поглощает узкий при объединении; при пересечении остаётся узкий.

На числовой прямой отмечайте решения отдельных строк разными линиями, затем отдельно подпишите требуемую операцию: ∩ или ∪. Подстановка одного числа проверяет его принадлежность, но не заменяет поиск всего множества. Повторить преобразования помогут свойства неравенств и работа с линейным выражением.

Кратко о главном

• Решение системы неравенств — пересечение решений всех неравенств.
• Каждое неравенство решают отдельно, затем сводят результаты на одной прямой.
• Если промежутки не пересекаются, система решений не имеет.
• При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.