Формулы сложения для синуса, косинуса и тангенса
📐 Алгебра · 10 класс
Формулы синуса и косинуса суммы и разности углов и их применение к вычислениям.
Формулы сложения
Формулы сложения выражают синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов через значения этих функций для каждого угла по отдельности. Они занимают центральное место во всей тригонометрии: именно из них выводятся формулы двойного угла, формулы приведения и формулы преобразования суммы в произведение. Без формул сложения невозможно упростить большинство тригонометрических выражений и доказать тождества.
Идея формул в том, что функция от составного угла раскладывается на простые «кирпичики». Если оба угла табличные, мы сразу получаем точное значение функции от их суммы или разности, не прибегая к приближённым вычислениям.
Основные формулы
| Выражение | Формула |
|---|---|
| Синус суммы | sin(a+b) = sin a · cos b + cos a · sin b |
| Синус разности | sin(a-b) = sin a · cos b - cos a · sin b |
| Косинус суммы | cos(a+b) = cos a · cos b - sin a · sin b |
| Косинус разности | cos(a-b) = cos a · cos b + sin a · sin b |
| Тангенс суммы | tg(a+b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a · tg b) |
Обратите внимание на закономерность знаков. У косинуса знак в формуле «противоположен» знаку в скобке: для косинуса суммы стоит минус, для косинуса разности — плюс. У синуса, наоборот, знаки совпадают: косинус суммы даёт плюс, разности — минус. Это удобное правило помогает не заучивать каждую строку отдельно.
Зачем они нужны
Главное практическое применение — вычисление значений функций для нестандартных углов через табличные. Например, угол 15° можно представить как разность 45° и 30°, а угол 75° — как их сумму. Тогда значение функции находится точно, в виде иррационального выражения с корнями.
cos 15° = cos(45° - 30°) = cos45°·cos30° + sin45°·sin30°= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2)/4.
Разбор примера
Упростим выражение sin(x + π/2). Применим формулу синуса суммы и подставим известные значения функций угла π/2.
sin(x + π/2) = sin x · cos(π/2) + cos x · sin(π/2)= sin x · 0 + cos x · 1 = cos x.
Этот результат, по сути, является одной из формул приведения — и мы видим, что она напрямую следует из формул сложения.
Частые ошибки. Чаще всего путают знак в формуле косинуса: вcos(a+b)между слагаемыми стоит минус, а не плюс. В формуле тангенса забывают про знаменатель1 - tg a · tg b. Самая грубая ошибка — «раскрывать скобки» какsin(a+b) = sin a + sin b: так делать нельзя, синус не распределяется по слагаемым.
Кратко о главном
- Формулы сложения выражают функции суммы и разности углов.
- У косинуса знаки в формуле противоположны знаку в скобке, у синуса — совпадают.
- С их помощью точно вычисляют функции углов вроде 15° и 75°.
- Они служат источником формул двойного угла и приведения.
- Нельзя «распределять» синус и косинус по слагаемым.