Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
📐 Алгебра · 10 класс
Алгоритм поиска экстремальных значений непрерывной функции на отрезке.
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке — это самое большое и самое маленькое значения, которые непрерывная функция принимает на заданном отрезке [a; b]. По теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция всегда достигает этих значений, поэтому задача об их поиске всегда имеет решение.
Где их искать
Экстремальные значения непрерывной функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка, либо на его концах. Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует. Других мест, где функция может принять наибольшее или наименьшее значение, нет. Поэтому достаточно собрать конечный набор «подозрительных» точек и сравнить значения функции в них.
Алгоритм решения
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Найти производную f'(x) |
| 2 | Решить уравнение f'(x) = 0 и отобрать корни из отрезка [a; b] |
| 3 | Вычислить значения функции в этих корнях и на концах a и b |
| 4 | Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений |
Обратите внимание: при поиске наибольшего и наименьшего значений на отрезке не нужно исследовать знак производной и определять характер критических точек — достаточно просто сравнить значения функции.
Разобранный пример
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 5 на отрезке [0; 3].
f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2. Эта точка входит в отрезок [0; 3]. Вычисляем: f(0) = 5; f(2) = 4 − 8 + 5 = 1; f(3) = 9 − 12 + 5 = 2. Наибольшее значение равно 5 (достигается в точке x = 0), наименьшее равно 1 (в точке x = 2).Чем отличается от локальных экстремумов
Точки максимума и минимума — это локальные понятия: функция там больше или меньше, чем в ближайшей окрестности. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке — глобальные понятия: они учитывают всю функцию на отрезке, включая концы. Поэтому глобальный максимум вполне может достигаться на конце отрезка, где локального экстремума нет вовсе.
Перечислим, на что обратить внимание при решении:
- обязательно вычислять значения на обоих концах отрезка;
- отбрасывать корни производной, не попавшие в отрезок;
- учитывать точки, где производная не существует, если такие есть.
Частые ошибки. Не забывайте вычислять значения на концах отрезка — глобальный экстремум часто оказывается именно там. Также отбрасывайте корни производной, не попадающие в отрезок, и не путайте этот метод с поиском экстремумов на всей числовой прямой, где концов нет.
Кратко о главном
- Непрерывная на отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
- Их ищут среди критических точек внутри отрезка и его концов.
- Нужно вычислить значения функции во всех этих точках и сравнить.
- Исследовать знак производной не требуется — достаточно сравнить значения.
- Концы отрезка проверять обязательно.