Квадратный корень: свойства и как решать
📐 Алгебра · 8 класс
Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a: √16 = 4. Свойства корней: √(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b. Как извлекать корень, вынесение множителя, примеры для 8 класса.
Что такое квадратный корень
Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a. Если число при возведении в квадрат даёт 25, то оно является квадратным корнем из 25. Таких чисел два: 5 и −5, ведь и 5², и (−5)² равны 25.
Чтобы избежать неоднозначности, вводят понятие арифметического квадратного корня. Это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному. Обозначают его знаком радикала: запись «корень из 25» означает именно 5, а не −5.
Область определения
Под знаком корня может стоять только неотрицательное число. Корень из отрицательного числа в школьной алгебре не существует, потому что квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным. Значит, выражение под радикалом всегда должно быть больше либо равно нулю — это первое, что проверяют при решении.
Основные свойства арифметического корня
| Свойство | Формула (словами) | Пример |
|---|---|---|
| Корень из произведения | корень из (a·b) = корень из a · корень из b | корень из 36 = корень из 4 · корень из 9 = 2·3 = 6 |
| Корень из дроби | корень из (a/b) = (корень из a)/(корень из b) | корень из (9/16) = 3/4 |
| Корень из квадрата | корень из (a²) = модуль a | корень из ((−7)²) = 7 |
| Квадрат корня | (корень из a)² = a при a ≥ 0 | (корень из 11)² = 11 |
Разбор примера
Вычислим значение выражения, используя свойства корней.
Задача: найти значение выражения корень из 144 + корень из (25/4) − корень из ((−6)²)
Шаг 1. Корень из 144 = 12, так как 12² = 144.
Шаг 2. Корень из (25/4) = (корень из 25)/(корень из 4) = 5/2 = 2,5.
Шаг 3. Корень из ((−6)²) = модуль (−6) = 6.
Шаг 4. Складываем и вычитаем: 12 + 2,5 − 6 = 8,5.
Ответ: 8,5
Частые ошибки. Нельзя писать, что корень из (a²) равен самому a — верно только «равен модулю a», иначе при отрицательном a получится неверный знак. Ещё одна типичная ошибка — «корень из суммы равен сумме корней»: это неправда, корень из (9+16) равен 5, а не 3+4=7. Свойства работают только для произведения и частного, но не для суммы и разности.
Где встречаются корни в жизни
Квадратный корень нужен всякий раз, когда по площади требуется найти длину. Если квадратный участок имеет площадь 49 квадратных метров, то длина его стороны равна корню из 49, то есть 7 метрам. Точно так же корни появляются в теореме Пифагора: длину наклонной стороны находят, извлекая корень из суммы квадратов двух других сторон. Поэтому умение быстро узнавать корни из точных квадратов — от 1 до 400 — очень полезный навык.
Корень может быть рациональным или иррациональным
Если неотрицательное целое число не является полным квадратом, его квадратный корень иррационален: например, √2. Для дробного числа вывод по признаку «не получается целое» неверен: √(1/4) = 1/2. Точный радикал можно оставить в ответе, а приближение давать только с нужной точностью.
Почему √2 нельзя записать обыкновенной дробью
Рациональное число представляют как m/n, где m — целое, n — натуральное. Покажем, что √2 такой записи не имеет. Предположим обратное: √2 = m/n, причём дробь сокращена и m, n положительны.
- Возводим в квадрат: m² = 2n². Значит, m² чётно.
- Квадрат нечётного числа нечётен, поэтому m чётно: m = 2k.
- Подставляем: 4k² = 2n², откуда n² = 2k². Следовательно, n тоже чётно.
- Получилось, что m и n имеют общий делитель 2. Это противоречит несократимости дроби.
Предположение неверно, поэтому √2 иррационально. Геометрический пример такого числа — длина диагонали квадрата со стороной 1: по теореме Пифагора её квадрат равен 2. Число существует, но не является отношением двух целых.
Точность и приближение — разные вещи
Запись √2 точная, а 1,414 — приближённая. Действительно, 1,414² = 1,999396, не ровно 2. Для десятичных границ можно проверить 1,41² < 2 < 1,42², поэтому 1,41 < √2 < 1,42. Длинная запись калькулятора сама по себе не доказывает иррациональность: для этого нужно рассуждение, подобное приведённому.
Не каждый нецелый корень иррационален
√(9/16) = 3/4 — рациональное число, хотя оно не целое. Для неотрицательного целого N верно: если N не является квадратом целого числа, то √N иррационален. Это утверждение нельзя без изменения переносить на любое дробное подкоренное число.
Сравните ещё два случая: √18 = 3√2 иррационально, а √0,36 = 0,6 рационально. Вопрос не в том, присутствует ли знак радикала в исходной записи, а в значении числа после правильных преобразований. Для геометрии пригодится теорема Пифагора, для обратного преобразования — формулы квадратов.
Кратко о главном
- Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
- Подкоренное выражение всегда должно быть больше либо равно нулю.
- Корень из произведения и из частного можно «разбивать» по множителям и делителям.
- Корень из квадрата равен модулю числа, а не самому числу.
- Корень из суммы не равен сумме корней — это распространённая ловушка.