Действия с числами в стандартном виде
📐 Алгебра · 7 класс
Умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде, с использованием свойств степеней.
Действия над числами в стандартном виде
Стандартный вид числа — это запись вида a · 10_n, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. В такой форме удобно умножать и делить очень большие и очень малые числа, опираясь на свойства степеней. Без стандартного вида вычисления с массой планеты или размером молекулы были бы крайне громоздкими.
Умножение чисел в стандартном виде
Чтобы перемножить два числа в стандартном виде, отдельно перемножают множители a и отдельно складывают показатели степеней десятки:
(a · 10_m) · (b · 10_n) = (a·b) · 10_(m+n)
Деление чисел в стандартном виде
При делении множители делят, а показатели степеней вычитают:
(a · 10_m) : (b · 10_n) = (a:b) · 10_(m-n)
Разбор примера
Умножим 3 · 10_4 на 2 · 10_5:
(3·2) · 10_(4+5) = 6 · 10_9
Теперь разделим 8 · 10_7 на 4 · 10_2:
(8:4) · 10_(7-2) = 2 · 10_5
| Действие | С множителями | С показателями |
|---|---|---|
| Умножение | перемножить | сложить |
| Деление | разделить | вычесть |
Приведение к стандартному виду
Иногда результат получается не в стандартном виде, потому что множитель выходит за пределы от 1 до 10. Например, 5·3 = 15, и тогда 15 · 10_3 нужно переписать как 1,5 · 10_4. Здесь число 15 представили как 1,5 · 10, и лишнюю десятку добавили к показателю. Точно так же поступают и при делении, если множитель оказался меньше единицы.
Частая ошибка. При умножении показатели нужно складывать, а при делении вычитать. Если перепутать эти действия, ответ изменится в миллионы раз. Также важно не забывать проверять, лежит ли множитель в пределах от 1 до 10.
Отрицательные показатели
Очень малые числа записывают со отрицательным показателем степени. Например, 0,0007 = 7 · 10_(-4). Правила действий остаются прежними: при умножении показатели складывают, при делении вычитают, и при этом отрицательные показатели участвуют наравне с положительными. Так, (2 · 10_(-3)) · (4 · 10_5) = 8 · 10_2, потому что -3 + 5 = 2.
Сравнение чисел в стандартном виде
Стандартный вид удобен для сравнения. Сначала сравнивают показатели степени: у какого числа показатель больше, то число и больше (для положительных множителей). Если показатели равны, сравнивают множители a. Например, 3 · 10_8 больше, чем 9 · 10_7, потому что у первого числа показатель степени больше, несмотря на меньший множитель.
Зачем нужен стандартный вид
Стандартный вид применяют в физике и астрономии, где встречаются числа вроде массы планеты или размера атома. Запись через степень десятки делает вычисления компактными, наглядными и удобными для сравнения.
Кратко о главном
- Стандартный вид числа — это
a · 10_nпри1 ≤ a < 10. - При умножении множители перемножают, а показатели степеней складывают.
- При делении множители делят, а показатели вычитают.
- Результат при необходимости приводят обратно к стандартному виду.