Задачи на смеси, сплавы и проценты
📐 Алгебра · 8 класс
Решение текстовых задач о смесях и сплавах с помощью уравнений.
Задачи на смеси, сплавы и проценты
В задачах на смеси и сплавы речь идёт о том, как меняется доля чистого вещества при смешивании растворов или сплавов. Концентрация — это отношение массы чистого вещества к массе всей смеси. Её выражают долей или процентами. Главный закон таких задач: при смешивании масса чистого вещества сохраняется — она просто переходит из отдельных частей в общую смесь.
Основные величины
| Величина | Что означает | Связь |
|---|---|---|
| Масса смеси | m | сумма масс частей |
| Концентрация | c | масса вещества / m |
| Масса вещества | m·c | сохраняется при смешивании |
| Процент | c·100 | доля в процентах |
Принцип решения
- Найти массу чистого вещества в каждой части как произведение массы на концентрацию.
- Сложить массы чистого вещества всех частей.
- Сложить массы всех частей, чтобы получить массу смеси.
- Составить уравнение для итоговой концентрации или искомой величины.
Концентрацию обязательно переводят из процентов в доли: 20% = 0,2. Работать удобнее именно с долями, потому что тогда масса вещества находится простым умножением.
Разобранный пример
Смешали 200 г раствора с концентрацией соли 20% и 300 г раствора с концентрацией 40%. Какова концентрация соли в полученной смеси?
Соль в первом: 200 · 0,2 = 40 г
Соль во втором: 300 · 0,4 = 120 г
Всего соли: 40 + 120 = 160 г
Всего раствора: 200 + 300 = 500 г
Концентрация: 160 / 500 = 0,32 = 32%Заметьте: концентрация смеси 32% оказалась между 20% и 40%, причём ближе к 40%, потому что второго раствора было больше. Такая прикидка помогает проверить ответ на разумность.
Задачи с неизвестной массой
Часто по условию неизвестна масса одной из частей смеси. Тогда её обозначают буквой и составляют уравнение для итоговой концентрации. Например, сколько граммов воды нужно добавить к 100 граммам 50%-го раствора, чтобы концентрация стала 20%? Масса соли не меняется и равна 50 граммам, а итоговая масса раствора равна (100 + x). Уравнение 50 : (100 + x) = 0,2 даёт 100 + x = 250, то есть x = 150 граммов воды. При добавлении чистой воды масса вещества остаётся прежней, а концентрация падает.
Правило. Сохраняется именно масса чистого вещества, а не концентрация. Складывать проценты двух растворов напрямую нельзя.
Частые ошибки. Складывают проценты двух растворов и получают, например, 60%; путают массу раствора и массу вещества; забывают перевести проценты в доли. Всегда работайте с массой чистого вещества.Задачи на сушку: сохраняется сухое вещество
В учебной модели сушки испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. Это дополнительное условие задачи, а не утверждение обо всех реальных технологических процессах. Проценты воды до и после сушки берутся от разной общей массы.
Прямая задача
В 20 кг условного продукта 80% воды. После сушки вода составляет 20% новой массы. Сколько продукта осталось? Сухое вещество сначала составляет 20%: 20 · 0,2 = 4 кг. После сушки эти 4 кг — уже 80% новой массы. Поэтому M = 4/0,8 = 5 кг.
| Состояние | Общая масса | Сухая доля | Сухая масса |
|---|---|---|---|
| До сушки | 20 кг | 20% | 4 кг |
| После сушки | 5 кг | 80% | 4 кг |
Испарилось 15 кг воды. Проверка: воды сначала 16 кг, после — 1 кг. Вычесть просто «80% − 20% = 60% массы» нельзя: базы процентов изменились.
Обратная задача
Нужно получить 6 кг высушенного условного продукта с 25% воды. В исходном вода составляет 90%. Сухая масса готового продукта: 6 · 0,75 = 4,5 кг. Она составляет 10% исходной массы, поэтому понадобится 4,5/0,1 = 45 кг. Все доли — заданные учебные условия, не сведения о составе конкретных фруктов или грибов.
Общая запись
Если M₁ и M₂ — массы, а w₁ и w₂ — доли воды, то M₁(1 − w₁) = M₂(1 − w₂). Отсюда M₂ = M₁(1 − w₁)/(1 − w₂), если w₂ < 1. Отношение новой массы к старой равно отношению старой сухой доли к новой. Перевернув это отношение, получите увеличение массы при обычной сушке — явный сигнал ошибки.
Самостоятельное задание
Из 30 кг продукта с 70% воды получили продукт с 10% воды. Найдите новую массу. Сухое вещество: 30 · 0,3 = 9 кг; новая масса: 9/0,9 = 10 кг. Проверьте отдельно водную и сухую части.
В задачах добавления воды сохраняют массу растворённого вещества, а в сушке удобно следить за сухой частью. Общая идея — выбрать сохраняемую величину. Для повторения есть проценты и составление уравнения.
Кратко о главном
- Концентрация — доля чистого вещества в смеси.
- Масса вещества равна произведению массы смеси на концентрацию.
- При смешивании суммируются массы вещества и общая масса.
- Проценты складывать напрямую нельзя.