Логарифмическая функция
📐 Алгебра · 10 класс
y = log_a(x), свойства, график, область определения.
Логарифмическая функция
Логарифмической называют функцию вида y = log_a(x), где основание a > 0 и a ≠ 1. Она показывает, в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить x. Логарифмическая функция — обратная к показательной y = aˣ, поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x. Это родство помогает понимать свойства одной функции через свойства другой.
Область определения и значений
Логарифм определён только для положительных чисел, ведь возведение положительного основания в любую степень даёт положительный результат. Поэтому область определения — x > 0, то есть открытый промежуток (0; +∞). А вот значения функция принимает любые: при подходящем x логарифм может быть и большим положительным, и большим отрицательным. Значит, область значений — все действительные числа.
Как ведёт себя график
Поведение зависит от основания a. Сравним два случая.
| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Монотонность | Возрастает | Убывает |
| Проходит через точку | (1; 0) | (1; 0) |
| Знак при x > 1 | y > 0 | y < 0 |
| Знак при 0 < x < 1 | y < 0 | y > 0 |
| Поведение у оси y | уходит вниз к −∞ | уходит вверх к +∞ |
В любом случае график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0), потому что log_a(1) = 0 при любом основании: ведь a⁰ = 1. Ось Oy служит вертикальной асимптотой — график бесконечно приближается к ней, но никогда её не касается, ведь логарифм нуля не существует.
Разбор примера
Найдём область определения функции y = log_3(2x − 6).
Шаг 1. Под знаком логарифма должно стоять положительное число:
2x − 6 > 0.
Шаг 2. Решаем неравенство: 2x > 6, делим на 2, значит x > 3.
Шаг 3. Ответ: область определения — промежуток (3; +∞).
Проверка: при x = 4 получаем log_3(2) — число существует;
при x = 3 получаем log_3(0) — не существует. Граница найдена верно.
Нахождение области определения почти всегда сводится к неравенству «выражение под логарифмом больше нуля».
Связь с показательной функцией
Поскольку логарифм обратен степени, каждая точка одного графика превращается в точку другого, если поменять местами координаты. Например, показательная функция проходит через (0; 1), а логарифмическая — через симметричную ей точку (1; 0). Эта симметрия относительно прямой y = x помогает быстро строить график логарифма: достаточно отразить график показательной функции. Понимая это родство, легко запомнить, что возрастающей показательной функции с a > 1 соответствует возрастающая логарифмическая.
Частые ошибки: берут логарифм от нуля или отрицательного числа; путают, что возрастает функция при a > 1, а не наоборот; забывают, что основание не может быть равно 1. Всегда сначала находите область определения — это половина решения любой задачи с логарифмами.
Кратко о главном
y = log_a(x)определена при a > 0, a ≠ 1 и x > 0.- Область определения — (0; +∞), область значений — все числа.
- При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
- График всегда проходит через (1; 0), ось Oy — вертикальная асимптота.
- Логарифмическая функция обратна показательной.