Обратные тригонометрические функции
📐 Алгебра · 10 класс
Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, их области значений и основные свойства.
Зачем нужны обратные тригонометрические функции
Тригонометрические функции не имеют обратных на всей области определения, потому что они периодичны и одно значение принимают многократно. Чтобы получить однозначную обратную функцию, область сужают до промежутка, где функция монотонна. Так появляются обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Арксинус и арккосинус
Арксинусом числа a (где -1 <= a <= 1) называют угол из отрезка [-pi/2; pi/2], синус которого равен a. Арккосинусом числа a называют угол из отрезка [0; pi], косинус которого равен a.
Арктангенс и арккотангенс
Арктангенсом числа a называют угол из интервала (-pi/2; pi/2), тангенс которого равен a. Арккотангенсом называют угол из интервала (0; pi), котангенс которого равен a. Эти функции определены для любого числа a.
| Функция | Область определения | Множество значений |
|---|---|---|
arcsin a | [-1; 1] | [-pi/2; pi/2] |
arccos a | [-1; 1] | [0; pi] |
arctg a | вся прямая | (-pi/2; pi/2) |
arcctg a | вся прямая | (0; pi) |
Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков соответствующих тригонометрических функций отражением относительно прямой y = x на выбранном промежутке. Поэтому, например, график арксинуса возрастает, а график арккосинуса убывает.
Полезные значения и тождества
arcsin 0 = 0,arccos 1 = 0,arctg 0 = 0.arcsin (1/2) = pi/6,arccos (1/2) = pi/3.arcsin a + arccos a = pi/2для всех допустимыхa.- Арксинус и арктангенс — нечётные функции:
arcsin (-a) = -arcsin a.
Разобранный пример
Вычислимarccos (-1/2).
Нужен угол из отрезка[0; pi], косинус которого равен-1/2.
Такому условию отвечает угол2pi/3, так какcos (2pi/3) = -1/2.
Значитarccos (-1/2) = 2pi/3.
Проверка: полученный угол действительно лежит в отрезке[0; pi].
Обратные тригонометрические функции применяют при решении тригонометрических уравнений: именно через них записывают общий вид корней уравнений вида sin x = a или tg x = a. Например, корни простейшего уравнения cos x = a при |a| <= 1 записывают как x = +-arccos a + 2pi*k, где k — целое число. Без арккосинуса записать ответ в общем виде было бы невозможно.
Свойства чётности тоже полезны на практике: арккосинус и арккотангенс — функции ни чётные, ни нечётные, тогда как арксинус и арктангенс нечётны. Это помогает быстро находить значения от отрицательных аргументов, не обращаясь каждый раз к определению.
Частые ошибки. Значение обратной функции всегда лежит в своём промежутке, выходить за него нельзя. Арккосинус отрицательного числа даёт тупой угол, а не отрицательный. Нельзя писать арксинус числа, большего единицы по модулю — такого значения не существует.
Кратко о главном
- Обратные тригонометрические функции восстанавливают угол по значению функции.
- Арксинус и арккосинус определены лишь на отрезке
[-1; 1]. - Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа.
- Полезно тождество
arcsin a + arccos a = pi/2.