Выделение полного квадрата

Приём выделения полного квадрата

Выделение полного квадрата — это преобразование квадратного трёхчлена к виду, содержащему квадрат двучлена и число. Приём опирается на формулы квадрата суммы или разности и позволяет упрощать выражения, оценивать их значения и доказывать неравенства.

Идея состоит в том, чтобы дополнить выражение до полного квадрата по формуле:

a_2 + 2ab + b_2 = (a + b)_2

Как выполнять выделение

Действовать удобно по шагам. Сначала смотрят на первое слагаемое — это квадрат переменной. Затем по удвоенному произведению определяют второе слагаемое двучлена.

1. Найдите квадрат первого слагаемого — это a_2.
2. Удвоенное произведение 2ab подскажет, чему равно b.
3. Прибавьте и одновременно вычтите b_2, чтобы значение выражения не изменилось.
4. Сверните полный квадрат, а остаток оставьте отдельным числом.

Разбор примера

Выделим полный квадрат в выражении x_2 + 6x + 11:

x_2 + 6x + 11 = (x_2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)_2 + 2

Здесь 2ab = 6x, значит b = 3, а b_2 = 9. Мы прибавили 9 внутри скобки и компенсировали это, оставив 11 - 9 = 2 снаружи.

Пример с разностью

Выделим полный квадрат в выражении x_2 - 10x + 30:

x_2 - 10x + 30 = (x_2 - 10x + 25) + 5 = (x - 5)_2 + 5

Половина коэффициента при x равна 5, её квадрат — 25. Прибавили 25 и компенсировали, оставив 30 - 25 = 5.

Зачем это нужно

Выделение полного квадрата помогает доказывать, что выражение всегда положительно. Так, (x + 3)_2 + 2 не меньше 2 при любом значении переменной, потому что квадрат любого числа не бывает отрицательным. Этот приём пригодится в старших классах при решении квадратных уравнений и построении графиков.

Правило. Чтобы дополнить выражение до полного квадрата, нужно взять половину коэффициента при переменной в первой степени и возвести её в квадрат. Для x_2 + 6x половина шестёрки равна 3, а её квадрат — 9.

Когда коэффициент при квадрате не равен единице

Если перед x_2 стоит число, отличное от единицы, его сначала выносят за скобки. Например, в выражении 2x_2 + 8x + 3 выносят двойку из первых двух слагаемых: 2·(x_2 + 4x) + 3. Внутри скобки уже привычная ситуация: половина четвёрки равна 2, её квадрат — 4. Дополняем и компенсируем с учётом множителя перед скобкой. Такой приём чаще встречается в старших классах, но познакомиться с ним полезно уже сейчас.

Проверка результата

Чтобы убедиться в правильности, достаточно раскрыть полученный квадрат обратно. Для (x + 3)_2 + 2 раскрытие даёт x_2 + 6x + 9 + 2 = x_2 + 6x + 11 — ровно исходное выражение. Совпадение подтверждает, что выделение выполнено без ошибок.

Как решить уравнение выделением квадрата

Преобразование выражения и решение уравнения — разные задачи. В уравнении можно умножить обе части на одно ненулевое число; при записи тождества множитель необходимо сохранить. После выделения квадрата нужно закончить решение и проверить все корни.

Полный разбор: два действительных корня

Решим 2x² + 8x − 10 = 0. Делим обе части на 2: x² + 4x − 5 = 0. Дополняем до квадрата: (x + 2)² − 9 = 0, то есть (x + 2)² = 9. Отсюда x + 2 = 3 или x + 2 = −3. Получаем x = 1 и x = −5.

Проверка в исходном уравнении: для x = 1 значение 2 + 8 − 10 = 0; для x = −5 значение 50 − 40 − 10 = 0. Если записать только x + 2 = 3, один корень потеряется. Знак ± нужен при извлечении корня из уравнения, а не в определении арифметического квадратного корня.

Один корень и отсутствие корней

Общий последний шаг: (x − h)² = r. При r > 0 получаются h ± √r, при r = 0 — один корень h, при r < 0 действительных корней нет. Область чисел здесь оговорена: комплексные решения — другая тема.

Самостоятельное уравнение

Решите x² − 6x + 5 = 0. Получаем (x − 3)² = 4, поэтому x = 1 или x = 5. Сравните с механическим «дописыванием квадрата»: если добавить 9 слева и не компенсировать изменение, получится другое уравнение.

Сопоставление с дискриминантом приведено в квадратных уравнениях; раскрыть квадрат обратно поможет таблица ФСУ. Проверка должна выполняться в первоначальной записи, где нет риска скрыть ошибку преобразования.

Кратко о главном

• Выделение полного квадрата приводит трёхчлен к виду «квадрат двучлена плюс число».
• Дополняемое число равно квадрату половины коэффициента при первой степени переменной.
• Прибавленное число обязательно компенсируется вычитанием того же числа.
• Приём используют для оценки значений и доказательства положительности выражений.