Свойства логарифмов и переход к новому основанию
📐 Алгебра · 10 класс
Логарифм произведения, частного, степени и формула перехода к новому основанию с разобранными примерами.
Свойства логарифмов
Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Свойства логарифмов превращают сложные действия со степенями в простые операции сложения и вычитания и потому незаменимы при упрощении выражений и решении уравнений. Везде далее считаем, что a > 0, a ≠ 1, а аргументы логарифмов положительны.
Откуда берутся свойства
Все свойства логарифмов вытекают из свойств степеней. Например, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются — отсюда и появляется правило для логарифма произведения. Понимание этой связи помогает не путать формулы и при необходимости выводить их заново.
Основные свойства
- Логарифм произведения:
logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y. - Логарифм частного:
logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y. - Логарифм степени:
logₐ(xⁿ) = n · logₐ x. - Основное логарифмическое тождество:
a^(logₐ b) = b. - Частные значения:
logₐ 1 = 0иlogₐ a = 1.
| Действие с числами | Действие с логарифмами |
|---|---|
| умножение | сложение |
| деление | вычитание |
| возведение в степень | умножение на показатель |
| извлечение корня | деление на показатель корня |
Переход к новому основанию
Любой логарифм можно выразить через логарифмы по другому основанию c:
logₐ b = (logₜ b) / (logₜ a)
На практике чаще всего переходят к десятичному логарифму (обозначается lg, основание 10) или к натуральному (обозначается ln, основание e), чтобы воспользоваться калькулятором. Из формулы перехода вытекают полезные следствия: logₐ b = 1 / logᵇ a и logₐₙ bᵐ = (m/n) logₐ b. Последнее равенство показывает, как показатели степени в основании и в аргументе влияют на логарифм.
Разобранный пример
Вычислим log₂ 24 - log₂ 3. По свойству частного объединяем логарифмы:
log₂ 24 - log₂ 3 = log₂(24/3) = log₂ 8 = 3
Ещё пример с переходом к новому основанию: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 = 1,5. Покажем работу свойства степени: log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4 log₃ 3 = 4. И комбинированный пример: log₂ 5 + log₂ 0,8 = log₂(5 · 0,8) = log₂ 4 = 2. Видно, как свойства позволяют находить точное значение даже там, где каждый логарифм по отдельности нецелый.
Десятичные и натуральные логарифмы
Два основания встречаются настолько часто, что для них завели особые обозначения. Десятичный логарифм по основанию 10 пишут как lg: например, lg 1000 = 3. Натуральный логарифм по основанию e ≈ 2,718 пишут как ln; он играет ключевую роль в анализе, потому что производная функции ln x равна 1/x. Любой другой логарифм через формулу перехода легко выражается через эти два, и именно так логарифмы вычисляют на калькуляторе.
Частые ошибки. Нет формулы для логарифма суммы: logₐ(x + y) нельзя «разбить» на отдельные слагаемые. Свойства работают только при положительных аргументах и допустимом основании. Множитель в формуле степени выносится только из всего аргумента целиком, а не из его части.Кратко о главном
- Логарифм произведения — сумма логарифмов, частного — разность.
- Показатель степени выносится перед логарифмом множителем.
- Формула перехода к новому основанию:
logₐ b = logₜ b / logₜ a. - Логарифм суммы по свойствам не раскладывается.