Производная сложной функции

Практика и разбор обновлены 27 октября 2026 года.

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция от функции. Например, в выражении y = sin(x²) внешней функцией является синус, а внутренней — x². Чтобы продифференцировать такую функцию, недостаточно знать производные элементарных функций: нужно применять специальное правило, которое называют цепным.

Правило цепочки: найдите внутреннюю функцию

При дифференцировании F(g(x)) нужно умножить производную внешней функции в точке g(x) на g′(x). Удобно временно обозначить внутреннее выражение буквой u. Такое обозначение помогает не забыть дополнительный множитель.

Задача для самостоятельной попытки

Найдите производную y = (3x² − 1)⁴ и её значение при x = 1.

Решение по шагам

Пусть u = 3x² − 1. Тогда (u⁴)′ = 4u³ · u′, а u′ = 6x. Получаем y′ = 24x(3x² − 1)³. При x = 1 значение равно 24 · 8 = 192.

Где обычно ошибаются

Ответ 4(3x² − 1)³ неполон: потеряна производная внутренней функции. Ошибка заметна уже в простом примере (cos 2x)′ = −2 sin 2x, где множитель 2 возникает из аргумента.

Проверка результата

Прочитайте выражение изнутри наружу и составьте цепочку действий: квадрат, умножение на три, вычитание единицы, четвёртая степень. Затем дифференцируйте с учётом связи уровней. Не путайте правило цепочки с правилом производной произведения.

Цепное правило

Если y = f(g(x)), то производная вычисляется так: берут производную внешней функции по её аргументу и умножают на производную внутренней функции.

Образно говоря, мы дифференцируем «снаружи внутрь»: сначала внешнюю функцию, считая внутреннюю единым аргументом, а затем обязательно домножаем на производную того, что находится внутри. Если сложных вложений несколько, правило применяют последовательно, перемножая производные всех слоёв.

Таблица типичных случаев

Как распознать внешнюю и внутреннюю функцию

Чтобы не запутаться, мысленно представьте порядок действий при вычислении значения функции в конкретной точке. То действие, которое выполняется последним, и есть внешняя функция — её дифференцируют первой. Например, в (2x + 3)^5 последним выполняется возведение в пятую степень, значит степень — внешняя функция, а 2x + 3 — внутренняя.

Разобранные примеры

Найдём производную функции y = (2x + 3)^5.

Теперь продифференцируем y = sin(3x).

Частые ошибки. Самая распространённая ошибка — забыть умножить на производную внутренней функции. Без множителя g'(x) ответ будет неверным. Например, нельзя писать, что производная sin(3x) равна cos(3x) — обязателен множитель 3. Также важно правильно определить, что является внешней, а что внутренней функцией, иначе всё дальнейшее вычисление окажется ошибочным.

Зачем это нужно

Большинство функций, встречающихся в задачах, являются сложными. Без цепного правила невозможно найти производные таких выражений, а значит, нельзя исследовать функции, строить касательные и решать прикладные задачи на экстремумы. Поэтому цепное правило — один из самых востребованных инструментов дифференцирования.

Несколько вложений

Иногда функция содержит сразу несколько вложенных слоёв, например y = sin²(3x), что означает (sin(3x))². В таких случаях цепное правило применяют последовательно, продвигаясь от самого внешнего действия к самому внутреннему и перемножая все производные.

Здесь мы прошли три слоя: возведение в квадрат, синус и линейную функцию 3x, и на каждом шаге домножали на производную внутреннего выражения. Полученный ответ при желании можно свернуть по формуле двойного угла до 3 sin 6x.

Кратко о главном

• Сложная функция — это функция от функции, y = f(g(x)).
• Цепное правило: y' = f'(g(x)) · g'(x).
• Дифференцируем снаружи внутрь, умножая на производную внутренней части.
• Внешняя функция — то действие, что выполняется последним.
• Главное — не потерять множитель g'(x).