Обратные тригонометрические функции
📐 Алгебра · 11 класс
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс: определения, области значений и графики.
Зачем нужны обратные тригонометрические функции
Прямые тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) сопоставляют углу число. Обратные тригонометрические функции решают противоположную задачу: по известному значению функции находят угол. Поскольку тригонометрические функции периодичны и принимают одинаковые значения при разных углах, для однозначности их рассматривают на специально выбранных промежутках, где функция монотонна.
Четыре основные функции
| Функция | Область определения | Область значений |
|---|---|---|
arcsin(x) | [-1; 1] | [-π/2; π/2] |
arccos(x) | [-1; 1] | [0; π] |
arctg(x) | все числа | (-π/2; π/2) |
arcctg(x) | все числа | (0; π) |
Арксинус
Арксинусом числа x называют такой угол из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен x. Например, arcsin(1/2) = π/6, так как синус угла π/6 равен 1/2. Аргумент арксинуса обязательно лежит в отрезке [-1; 1], потому что синус не выходит за эти границы.
Арккосинус
Арккосинусом числа x называют угол из отрезка [0; π], косинус которого равен x. Например, arccos(0) = π/2, потому что косинус прямого угла равен нулю.
Арктангенс и арккотангенс
Арктангенсом числа x называют угол из интервала (-π/2; π/2), тангенс которого равен x. Арккотангенсом называют угол из интервала (0; π), котангенс которого равен x. Эти функции определены для любого числа, потому что тангенс и котангенс принимают все действительные значения. Например, arctg(1) = π/4, так как тангенс этого угла равен единице.
Обратные тригонометрические функции применяют при записи решений тригонометрических уравнений, ведь именно через них выражаются углы по известным значениям синуса, косинуса или тангенса.
Полезные свойства
Арксинус и арктангенс — нечётные функции, а арккосинус — нет. Действуют формулы:
arcsin(-x) = -arcsin(x);arccos(-x) = π - arccos(x);arctg(-x) = -arctg(x).
Разобранный пример
Вычислим arccos(-1/2).
Используем формулу: arccos(-1/2) = π - arccos(1/2).
arccos(1/2) = π/3, поэтому arccos(-1/2) = π - π/3 = 2π/3.
Ещё один пример
Вычислим arcsin(-√2/2).
Так как арксинус нечётен: arcsin(-√2/2) = -arcsin(√2/2) = -π/4.
Частые ошибки. Путают области значений: значение арксинуса лежит в[-π/2; π/2], а арккосинуса — в[0; π]. Нельзя считать арккосинус нечётной функцией — для отрицательного аргумента работает формулаπ - arccos(x). Также нельзя брать арксинус или арккосинус от числа, по модулю большего единицы.
Кратко о главном
- Обратные тригонометрические функции по значению восстанавливают угол.
- Аргумент арксинуса и арккосинуса лежит в отрезке
[-1; 1]. - Значения арксинуса — из
[-π/2; π/2], арккосинуса — из[0; π]. - Арктангенс и арккотангенс определены для всех чисел.
- Арксинус и арктангенс нечётны, для арккосинуса верна формула
arccos(-x) = π - arccos(x).