Задачи на покупки и стоимость
📐 Алгебра · 7 класс
Составление линейных уравнений в задачах о цене, количестве и общей стоимости.
Задачи о покупках и стоимости
Задачи на покупки и стоимость — это текстовые задачи, в которых связаны цена товара, его количество и общая стоимость. Их решают, составляя линейное уравнение по условию. Такие задачи постоянно встречаются в жизни, поэтому умение их решать особенно ценно.
Основное соотношение
Между тремя величинами есть простая связь:
стоимость = цена · количество
Зная любые две величины, можно найти третью. Цена — это стоимость одной единицы товара, количество — число купленных единиц, а стоимость — общая сумма, которую заплатили.
Как составить уравнение
- Определите, что взять за неизвестное, и обозначьте его буквой.
- Выразите остальные величины через эту букву.
- Запишите равенство, опираясь на условие задачи.
- Решите уравнение и проверьте ответ по смыслу.
Разбор примера
За 3 тетради и 2 ручки заплатили 210 рублей. Тетрадь стоит на 10 рублей дороже ручки. Сколько стоит ручка?
Пусть ручка стоит x рублей, тогда тетрадь — x + 10 рублей. Составим уравнение:
3·(x + 10) + 2·x = 210
3x + 30 + 2x = 210
5x = 180
x = 36
Ручка стоит 36 рублей, а тетрадь — 46 рублей.
| Товар | Цена | Количество | Стоимость |
|---|---|---|---|
| Ручка | x | 2 | 2x |
| Тетрадь | x + 10 | 3 | 3(x+10) |
Задачи со сдачей и скидкой
Иногда в условии появляется сдача или скидка. Тогда к основному соотношению добавляют ещё одно слагаемое. Например, если покупатель дал 500 рублей и получил сдачу, то стоимость покупки = 500 - сдача. Главное — внимательно перевести каждое предложение условия в часть уравнения.
Частая ошибка. Иногда забывают умножить цену на количество и записывают просто сумму цен. Важно учитывать, сколько единиц каждого товара куплено, иначе уравнение будет неверным.
После решения полезно проверить ответ: 3·46 + 2·36 = 138 + 72 = 210. Сумма совпала с условием, значит, решение верно.
Задачи с несколькими видами товара
Когда в задаче несколько разных товаров, для каждого записывают своё произведение цены на количество, а затем складывают. Если цены связаны между собой (один товар дороже или дешевле другого на известную величину или в известное число раз), эти связи помогают выразить все цены через одну букву. Чем аккуратнее составлена такая запись, тем проще получить и решить уравнение.
Перевод единиц
Важно следить за единицами измерения. Если часть цен дана в рублях, а часть — в копейках, перед составлением уравнения всё приводят к одной единице. То же касается количества: килограммы и граммы нельзя смешивать. Невнимательность к единицам — одна из самых частых причин неверного ответа в задачах на стоимость.
Оптимальный выбор: недостаточно сравнить цену упаковки
В задаче на выбор нужно определить, что именно уменьшаем: полную стоимость, цену одной штуки или расход времени. Эти цели могут дать разные ответы. Сначала запишите ограничения: сколько нужно товара, разрешено ли покупать поштучно и можно ли брать лишнее. Все цены ниже вымышлены для учебных примеров.
Упаковки: минимальная цена единицы не всегда даёт минимум покупки
Нужно не менее 24 одинаковых ручек. Упаковка из 10 стоит 90 рублей, из 6 — 65 рублей; поштучной продажи нет. Пусть x и y — числа упаковок. Ограничение: 10x + 6y ≥ 24, x и y — неотрицательные целые. Минимизируем C = 90x + 65y.
| x | Минимально нужное y | Ручек | Стоимость |
|---|---|---|---|
| 0 | 4 | 24 | 260 рублей |
| 1 | 3 | 28 | 285 рублей |
| 2 | 1 | 26 | 245 рублей |
| 3 | 0 | 30 | 270 рублей |
При x ≥ 3 только большие упаковки уже стоят не меньше 270 рублей. Поэтому дальнейший перебор не улучшит найденные 245 рублей. Ответ: две большие упаковки и одна маленькая. Лишние две ручки разрешены условием. Если требовалось ровно 24, эта покупка была бы недопустима.
Две линейные стратегии
В условной мастерской печать стоит либо 5 рублей за страницу без начального платежа, либо 120 рублей за подготовку плюс 2 рубля за страницу. Для n страниц сравниваем 5n и 120 + 2n. Равенство при n = 40; при 1 ≤ n < 40 дешевле первый вариант, при целых n ≥ 41 — второй.
Проверка рядом с границей: 39 страниц — 195 и 198 рублей; 41 — 205 и 202. Сравнивать только 5 и 2 нельзя: начальный платёж меняет выбор. В реальной покупке условия могут включать другие ограничения; здесь решена только указанная учебная модель.
В простых задачах помогает полный конечный перебор, в других — линейное уравнение или исследование квадратичной функции. Любой найденный минимум нужно проверить на допустимость исходным условиям.
Кратко о главном
- Стоимость равна произведению цены на количество.
- Неизвестную величину обозначают буквой, остальные выражают через неё.
- Уравнение составляют, переводя каждое условие задачи в равенство.
- Полученный ответ обязательно проверяют подстановкой.