Что такое целое выражение
📐 Алгебра · 7 класс
Целое выражение — это выражение из чисел и переменных, соединённых сложением, вычитанием, умножением и делением на число (не на переменную). Как отличить целое выражение от дробного, примеры.
Понятие целого выражения
Целое выражение — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень, а также деления на число, но не на выражение с переменной. Многочлены и одночлены — частные случаи целых выражений, поэтому всё, что вы знаете о них, применимо и здесь.
Если же в выражении есть деление на выражение, содержащее переменную, оно называется дробным. Различать эти два вида важно: у дробных выражений бывают недопустимые значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, а у целых выражений таких ограничений нет.
Целое или дробное
| Выражение | Вид | Почему |
|---|---|---|
3*x^2 - 5*x + 1 | Целое | только +, -, *, степень |
(x + 2) / 4 | Целое | деление на число |
5 / x | Дробное | деление на переменную |
(x - 1) / (x + 3) | Дробное | в знаменателе переменная |
Значение целого выражения
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных — у него нет недопустимых значений. Чтобы найти его значение, вместо букв подставляют числа и выполняют действия в обычном порядке.
Выражение: 2*a^2 - 3*a + 4 при a = 2
2*4 - 3*2 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6
То же выражение при a = 0:
0 - 0 + 4 = 4
Как видим, при разных значениях переменной выражение принимает разные числовые значения, но всегда остаётся определённым.
Тождественные преобразования
Целые выражения преобразуют с помощью раскрытия скобок, приведения подобных членов и формул сокращённого умножения. Полученное выражение тождественно равно исходному: оно принимает те же значения при любых значениях переменных.
(x + 1)^2 - x^2
= x^2 + 2*x + 1 - x^2
= 2*x + 1
Проверим тождество при x = 3: слева (3+1)^2 - 9 = 16 - 9 = 7, справа 2*3 + 1 = 7 — значения совпали, преобразование выполнено верно.
Тождественные преобразования целых выражений нужны во многих темах: при решении уравнений, при доказательстве равенств, при упрощении громоздких формул. Поскольку у целого выражения нет недопустимых значений, любое верное преобразование сохраняет равенство при всех числах сразу. Это отличает целые выражения от дробных, где приходится дополнительно следить за тем, чтобы знаменатель не обращался в нуль.
Частая ошибка. Считают дробным любое выражение, где встречается знак деления. Но деление на число, например на 5, оставляет выражение целым. Дробным выражение делает только переменная, попавшая в знаменатель.
Кратко о главном
- Целое выражение использует сложение, вычитание, умножение, степень и деление на число.
- Деление на выражение с переменной делает выражение дробным.
- Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных.
- Преобразуют целые выражения по правилам тождественных преобразований.
Частые вопросы
Что такое целое выражение?
Целое выражение — это выражение из чисел и переменных, составленное с помощью сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень и деления на число. Деления на выражение с переменной в нём нет. Примеры: 3a + 5, (x − 2)², (a + b)/4.
Чем целые выражения отличаются от дробных?
В дробном выражении есть деление на выражение с переменной: 1/x, (a + 1)/(a − 3). В целом такого деления нет, поэтому целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных, а дробное — не при всех.