Системы уравнений 7 класс: способы решения
📐 Алгебра · 7 класс
Систему линейных уравнений решают подстановкой, сложением или графически. Что такое решение системы, пошаговые примеры каждого способа, задания с ответами для 7 класса.
Что такое система линейных уравнений
Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения вида ax + by = c, которые нужно решить совместно. Решением системы называют пару чисел (x; y), которая обращает в верное равенство оба уравнения одновременно. Систему записывают с фигурной скобкой слева, объединяющей уравнения.
Метод подстановки
В одном из уравнений выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. Получается уравнение с одной переменной, которое уже легко решить. Найдя одну переменную, подставляют её обратно и находят вторую.
Пошаговый пример (подстановка)
Дано: { y = x + 1
{ 2x + y = 7
Шаг 1. y уже выражен: y = x + 1.
Шаг 2. Подставляем во 2-е уравнение:
2x + (x + 1) = 7
Шаг 3. Решаем: 3x + 1 = 7
3x = 6 → x = 2
Шаг 4. Находим y: y = 2 + 1 = 3.
Ответ: (2; 3).Метод сложения (алгебраического)
Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна из переменных исчезла. Иногда для этого одно или оба уравнения предварительно умножают на подходящие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
Графический метод
Каждое уравнение задаёт прямую. Их строят на одной координатной плоскости. Координаты точки пересечения прямых и есть решение системы. Этот метод нагляден, но даёт точный ответ только при «красивых» числах, поэтому его чаще используют для понимания, сколько у системы решений, а сами числа находят алгебраически.
Текстовые задачи на системы
Системы уравнений незаменимы там, где в задаче две неизвестные величины и два условия. Обе величины обозначают буквами, по каждому условию составляют уравнение, а затем решают систему. Например, если известны сумма двух чисел и их разность, по этим двум фактам составляют два уравнения и легко находят оба числа методом сложения.
| Взаимное положение прямых | Число решений |
|---|---|
| пересекаются в одной точке | одно решение |
| параллельны (не совпадают) | решений нет |
| совпадают | бесконечно много |
Пример метода сложения
Решим систему методом сложения, где переменная исчезает сразу.
Дано: { x + y = 10
{ x − y = 4
Шаг 1. Складываем уравнения почленно.
y и −y взаимно уничтожаются:
2x = 14
Шаг 2. x = 7.
Шаг 3. Подставляем в первое уравнение:
7 + y = 10 → y = 3.
Ответ: (7; 3).Практическое правило. Подстановку удобно применять, когда в каком-то уравнении переменная уже выражена или её коэффициент равен 1. Метод сложения хорош, когда коэффициенты при одной переменной одинаковы или противоположны. Всегда проверяй найденную пару, подставив её в оба уравнения: она должна обращать в верное равенство и первое, и второе.
За пределами двух переменных: Гаусс и Крамер
Система может содержать больше двух уравнений и переменных. При расширении сохраняется требование: решение удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Следующие методы — дополнительный материал, они не заменяют уже разобранные подстановку и сложение.
Метод Крамера для двух неизвестных
Для a₁x + b₁y = c₁ и a₂x + b₂y = c₂ вычисляют Δ = a₁b₂ − a₂b₁, Δₓ = c₁b₂ − c₂b₁, Δᵧ = a₁c₂ − a₂c₁. Если Δ ≠ 0, то x = Δₓ/Δ, y = Δᵧ/Δ.
Возьмём 2x + y = 7, x − y = 2. Получаем Δ = 2 · (−1) − 1 · 1 = −3; Δₓ = 7 · (−1) − 2 · 1 = −9; Δᵧ = 2 · 2 − 1 · 7 = −3. Значит, x = 3, y = 1. Подстановка даёт 7 и 2 в правых частях.
При Δ = 0 делить нельзя. Это не означает автоматически отсутствие решений: x + y = 2 вместе с 2x + 2y = 4 дают бесконечно много пар, а вместе с 2x + 2y = 5 — ни одной.
Метод Гаусса: последовательное исключение
Решим систему x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2. Вычтем удвоенное первое уравнение из второго: −3y − z = −9. Из третьего вычтем первое: y − 2z = −4.
Теперь к уравнению −3y − z = −9 прибавим утроенное y − 2z = −4. Получим −7z = −21, поэтому z = 3. Обратный ход: y − 6 = −4, значит y = 2; из первого x + 2 + 3 = 6, значит x = 1. Проверка во всех трёх исходных уравнениях даёт соответственно 6, 3, 2.
Какие преобразования сохраняют решения
Можно менять уравнения местами, умножать уравнение на ненулевое число и прибавлять к одному кратное другого. Нельзя умножить уравнение на ноль и считать, что информация сохранилась. Строка 0 = 5 выявляет противоречие; строка 0 = 0 сама по себе не добавляет нового ограничения.
Матричная запись компактнее, но смысл остаётся тем же: исключить переменные, затем восстановить их значения. Продолжить можно через разбор линейного уравнения и сопоставление с нелинейным уравнением: линейность зависит от вида переменных, а не от числа строк.
Кратко о главном
- Решение системы — пара (x; y), верная для обоих уравнений.
- Подстановка: выразить переменную и подставить в другое уравнение.
- Сложение: уравнять коэффициенты и убрать одну переменную сложением.
- Графически решение — точка пересечения прямых.
- Система может иметь одно решение, ни одного или бесконечно много.