Свойства числовых неравенств
📐 Алгебра · 7 класс
Основные свойства числовых неравенств и правила преобразований при их решении.
Числовые неравенства
Числовое неравенство сравнивает два числа знаками >, <, >= или <=. Свойства числовых неравенств — это правила, по которым неравенства можно складывать, умножать и преобразовывать, не нарушая их истинности. Эти свойства лежат в основе решения линейных неравенств и помогают сравнивать выражения, не вычисляя их точные значения.
Говорят, что a > b, если разность a - b является положительным числом. Это определение через разность объясняет все дальнейшие свойства неравенств.
Основные свойства
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число — знак неравенства сохраняется.
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак сохраняется.
- При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
- Неравенства одного знака можно почленно складывать.
Третье свойство — самое важное и самое коварное, потому что именно о нём чаще всего забывают при решении.
Сводка преобразований
| Действие | Со знаком неравенства | Пример |
|---|---|---|
| Прибавить число | не меняется | 5 > 3 -> 5+2 > 3+2 |
| Умножить на положительное | не меняется | 5 > 3 -> 5*2 > 3*2 |
| Умножить на отрицательное | меняется | 5 > 3 -> 5*(-1) < 3*(-1) |
Разобранный пример
Решим: -2*x + 1 < 7
переносим 1 вправо: -2*x < 7 - 1
-2*x < 6
делим обе части на -2, знак меняется:
x > -3
Ответ: все числа, большие -3. Заметьте, как знак меньше превратился в знак больше в тот момент, когда мы разделили на отрицательное число.
Двойные неравенства
Запись 2 < x < 5 означает, что число x одновременно больше 2 и меньше 5. С такими неравенствами действия выполняют сразу со всеми тремя частями. Например, прибавив к каждой части по единице, получим 3 < x + 1 < 6.
Свойства неравенств позволяют сравнивать выражения, не вычисляя их точных значений. Зная, что a > b, мы сразу можем утверждать, что a + 5 > b + 5 и что 2*a > 2*b. А вот про -a и -b придётся сказать обратное: -a < -b, ведь умножение на отрицательное число переворачивает знак. Такие рассуждения часто встречаются в доказательствах.
Свойство почленного сложения тоже применяют для оценок. Если a > 2 и b > 3, то, сложив эти неравенства, получим a + b > 5. Подобным образом оценивают сумму, когда точные значения слагаемых неизвестны, но известны их границы. Главное — складывать только неравенства одного знака; вычитать неравенства почленно нельзя, это часто приводит к неверным выводам.
Правило. Если вы делите или умножаете обе части неравенства на отрицательное число, обязательно переверните знак неравенства. Это самая частая причина ошибок во всей теме неравенств.
Как доказывать неравенство
Подстановка нескольких чисел помогает обнаружить ошибку, но не доказывает утверждение для всех допустимых значений. Нужно преобразование или цепочка оценок, которая охватывает всю указанную область.
Способ 1. Исследовать разность
Докажем a² + b² ≥ 2ab для любых действительных a, b. Разность левой и правой частей равна a² − 2ab + b² = (a − b)² ≥ 0. Поэтому утверждение верно. Равенство достигается при a = b — это отдельная часть ответа.
Способ 2. Учесть знак знаменателя
Докажем x + 1/x ≥ 2 при x > 0. Вычитаем 2: x + 1/x − 2 = (x − 1)²/x. Числитель неотрицателен, знаменатель положителен, дробь неотрицательна. Равенство при x = 1. Условие x > 0 нельзя отбросить: при x = −1 левая часть равна −2.
Способ 3. Сравнить через удобную границу
Что больше: 3¹⁰ или 2¹⁵? Заметим, что 3² = 9 > 8 = 2³. Возводим положительные числа в пятую степень, сохраняя знак: (3²)⁵ > (2³)⁵. Значит, 3¹⁰ > 2¹⁵. Вычислять оба больших числа не требуется.
Способ 4. Увидеть одинаковую основу
Сравним 3001 · 2999 и 3000². Первое произведение — (3000 + 1)(3000 − 1) = 3000² − 1. Следовательно, оно меньше ровно на 1. Здесь помогла разность квадратов, а не приблизительный подсчёт.
Проверьте самостоятельно
Докажите (u + 2)² ≥ 8u для всех действительных u. Разность равна u² − 4u + 4 = (u − 2)², поэтому знак неотрицательный; равенство при u = 2. Если в вашем доказательстве пришлось делить на u, проверьте отдельно u = 0 и знак u: такой шаг без условий может испортить верное утверждение.
Перед решением записывайте область допустимых значений и проверяйте каждое умножение или деление. Для преобразований пригодятся формулы сокращённого умножения и выделение полного квадрата.
Кратко о главном
- Прибавление одного и того же числа к обеим частям знак не меняет.
- Умножение на положительное число знак сохраняет.
- Умножение на отрицательное число знак меняет на противоположный.
- Неравенства одного знака можно складывать почленно.