Линейные неравенства с одной переменной
📐 Алгебра · 8 класс
Как решать линейные неравенства, изображать ответ на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.
Что значит решить неравенство
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство вида ax > b, а также неравенства со знаками <, ≥ и ≤, где a и b — заданные числа. Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно превращается в верное числовое неравенство. В отличие от уравнения, у неравенства обычно бесконечно много решений, поэтому ответ записывают не одним числом, а целым числовым промежутком. Решают линейные неравенства почти так же, как линейные уравнения, но с одной важной особенностью при умножении и делении на отрицательное число.
Алгоритм решения
- Раскрыть скобки, если они есть.
- Перенести слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, меняя знаки при переносе.
- Привести подобные слагаемые в каждой части.
- Разделить обе части на коэффициент при переменной.
- Если делим на отрицательное число — поменять знак неравенства на противоположный.
- Изобразить решение на числовой прямой и записать ответ в виде промежутка.
Изображение на числовой прямой
Строгие знаки > и < изображают выколотой точкой, то есть пустым кружком: само граничное число в ответ не входит. Нестрогие знаки ≥ и ≤ изображают закрашенной точкой: граничное число входит в ответ. Направление штриховки показывает, в какую сторону уходит множество решений.
| Решение | Промежуток | Точка |
|---|---|---|
x > 4 | (4; +∞) | выколотая |
x ≤ 4 | (-∞; 4] | закрашенная |
x ≥ -2 | [-2; +∞) | закрашенная |
Разбор примера
Решим неравенство со скобками. Сначала раскрываем скобки, затем собираем переменные в одной части, а числа — в другой.
Раскрываем скобки и переносим слагаемые:3(x - 2) < x + 4, затем3x - 6 < x + 4, затем3x - x < 4 + 6, то есть2x < 10, откудаx < 5. Ответ: промежуток(-∞; 5).
Пример с делением на отрицательное число
А теперь случай, где приходится менять знак неравенства. Это самый ответственный момент во всей теме, поэтому действуем внимательно.
Неравенство-2x ≥ 8. Делим обе части на-2и обязательно меняем знак: получаемx ≤ -4. Ответ: промежуток(-∞; -4].
Обратите внимание: если бы мы по привычке оставили прежний знак, получили бы неверный ответ x ≥ -4, который не подходит к исходному неравенству. Проверить решение очень легко — достаточно подставить любое число из найденного промежутка в исходное неравенство и убедиться, что оно становится верным. Например, число -5 входит в ответ, и при подстановке получаем 10 ≥ 8 — это верно, значит решение найдено правильно.
Частые ошибки. Чаще всего забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число. Также путают выколотую и закрашенную точку и неверно указывают направление луча на числовой прямой.
Кратко о главном
- Линейное неравенство решают почти как уравнение, но с учётом правил знаков.
- При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
- Строгий знак изображают выколотой точкой, нестрогий — закрашенной.
- Ответ записывают в виде числового промежутка.