Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей
📐 Алгебра · 8 класс
Как сдвиги графика влево-вправо и вверх-вниз меняют формулу функции.
Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей
Зная график одной функции, можно быстро построить графики родственных функций, не составляя новую таблицу значений. Для этого используют сдвиги — параллельные переносы графика вдоль координатных осей. Достаточно понять, как добавление чисел к формуле двигает график, и тогда множество новых функций строится почти мгновенно.
Сдвиг вверх и вниз
Если к функции прибавить число b, график сдвигается вдоль оси игрек: y = f(x) + b поднимает график на b вверх при положительном b и опускает на |b| вниз при отрицательном. Здесь всё интуитивно: прибавили — поднялись, вычли — опустились.
Сдвиг влево и вправо
Если изменить аргумент, график сдвигается вдоль оси икс: y = f(x − a) сдвигает график на a вправо. Обратите внимание на «обратность» знака: минус в скобке соответствует сдвигу вправо, а плюс — сдвигу влево. Эта особенность чаще всего и вызывает ошибки.
| Запись | Что происходит |
|---|---|
y = f(x) + 3 | сдвиг на 3 вверх |
y = f(x) − 3 | сдвиг на 3 вниз |
y = f(x − 4) | сдвиг на 4 вправо |
y = f(x + 4) | сдвиг на 4 влево |
Порядок построения
- Построить или вспомнить график исходной функции.
- Определить горизонтальный сдвиг по числу внутри аргумента.
- Определить вертикальный сдвиг по числу вне функции.
- Перенести характерные точки (например, вершину) в новое положение.
Разобранный пример
Построим y = (x − 2)² + 1 из параболы y = x².
Шаг 1: x² → (x − 2)² — сдвиг на 2 вправо
Шаг 2: (x − 2)² → (x − 2)² + 1 — сдвиг на 1 вверх
Вершина из (0; 0) переходит в (2; 1)График параболы просто переносится в новое положение, его форма и ширина не меняются — меняются только координаты вершины и всех точек.
Сдвиги других функций
Те же правила работают не только для параболы, но и для любой функции. Например, график y = √(x − 1) — это график y = √x, сдвинутый на единицу вправо, а график y = |x| + 2 — уголок, поднятый на две единицы вверх. Понимание сдвигов экономит время: вместо построения по точкам достаточно перенести знакомый график в нужное место. Если же присутствуют сразу два сдвига, их выполняют последовательно — порядок при чистых переносах не важен.
Правило. Сдвиг по вертикали определяется числом вне функции, сдвиг по горизонтали — числом внутри аргумента, причём знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.
Частые ошибки. Сдвигают вправо приx + aвместоx − a; путают вертикальный и горизонтальный переносы; считают, что форма графика при сдвиге меняется, хотя она сохраняется.
Умножение всей функции: y = kf(x)
Вертикальное растяжение отличается от переноса. Точка (x; y) переходит в (x; ky): абсцисса сохраняется, ордината умножается. Для k > 1 расстояния до оси x увеличиваются; для 0 < k < 1 уменьшаются. При k < 0 дополнительно происходит отражение относительно оси x, а масштаб определяется |k|.
| x | f(x) = x² − 1 | 2f(x) | 0,5f(x) | −2f(x) |
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | −1 | −2 | −0,5 | 2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 6 | 1,5 | −6 |
Нули при k ≠ 0 сохраняются: если f(x) = 0, то kf(x) = 0, и наоборот. Область определения остаётся исходной. При k = 0 значение равно нулю только там, где f определена: умножение на ноль не разрешает подстановку в первоначально неопределённое выражение.
Сочетаем преобразования по порядку
Построим y = −2(x − 3)² + 1. Из y = x² сначала получаем (x − 3)² — перенос на 3 вправо. Затем умножаем ординаты на −2: отражаем и растягиваем по вертикали вдвое. После этого прибавляем 1 — поднимаем график. Вершина находится в (3; 1); при x = 2 и x = 4 значения равны −1.
Нельзя сначала поднять исходный график на 1, а потом умножить всё на −2 без изменения формулы: −2(x² + 1) = −2x² − 2, это другой результат. Скобки показывают, к каким частям применяется действие.
Проверьте различие записей
Для f(x) = |x| выражения 3f(x) и f(x) + 3 равны соответственно 3|x| и |x| + 3. При x = 0 значения 0 и 3: первое не переносит вершину вверх, второе переносит. Объясните разницу по точкам, а не по слову «тройка» в формуле.
Для продолжения — свойства параболы и график модуля.
Кратко о главном
f(x) + bсдвигает график по вертикали.f(x − a)сдвигает график вправо наa.- Знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.
- При сдвиге форма графика не меняется.