Как разложить на множители 7 класс
📐 Алгебра · 7 класс
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения. Способы: вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения — с примерами для 7 класса.
Что такое разложение на множители
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких многочленов или одночленов. Это действие, обратное раскрытию скобок. Зачем оно нужно? Разложение помогает сокращать дроби, решать уравнения и упрощать громоздкие выражения. В 7 классе изучают три основных способа.
Способ 1. Вынесение общего множителя
Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его выносят за скобку. Чтобы найти общий множитель, берут наибольший общий делитель коэффициентов и каждую переменную в наименьшей встречающейся степени. Например, в 6x³ + 9x² общий множитель 3x², и получается 3x²(2x + 3).
Способ 2. Способ группировки
Когда общего множителя у всех членов нет, члены разбивают на группы так, чтобы в каждой группе он появился. Затем выносят множитель из каждой группы, и если в скобках получается одинаковое выражение, выносят и его.
Способ 3. Применение формул сокращённого умножения
Многие многочлены раскладываются по ФСУ. Особенно полезна разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) и квадрат суммы или разности.
| Способ | Когда применять | Пример |
|---|---|---|
| Общий множитель | есть общий множитель у всех членов | 4a + 4b = 4(a + b) |
| Группировка | 4 и более членов | ax + ay + bx + by |
| Формулы (ФСУ) | видна разность квадратов или квадрат | x² − 9 = (x−3)(x+3) |
Пошаговый пример
Разложим на множители способом группировки ax + ay + bx + by.
Дано: ax + ay + bx + by
Шаг 1. Разбиваем на две группы:
(ax + ay) + (bx + by)
Шаг 2. В первой группе выносим a,
во второй — b:
a(x + y) + b(x + y)
Шаг 3. В скобках одинаковое (x + y).
Выносим его за скобку:
(x + y)(a + b)
Ответ: (x + y)(a + b).Комбинирование способов
В сложных выражениях способы часто соединяют. Сначала выносят общий множитель, а то, что осталось в скобке, раскладывают по формуле. Например, 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3): здесь сработали и вынесение множителя, и разность квадратов. Поэтому вынесение общего множителя всегда проверяют первым — оно может упростить дальнейшее разложение.
Практическое правило. Начинай всегда с вынесения общего множителя — это первый шаг для любого выражения. Только потом пробуй группировку или формулы. И всегда проверяй разложение: если перемножить полученные скобки, должен получиться исходный многочлен. Разложение считается завершённым, когда ни один множитель уже нельзя разложить дальше.
Практикум: от общего множителя до корня многочлена
В одном выражении можно сочетать несколько приёмов. Выбирайте их по структуре, а затем проверяйте произведение раскрытием скобок. Число членов само по себе не ограничивает применение группировки: иногда полезно предварительно разделить одно слагаемое.
Общий множитель и полный квадрат
2x³ − 12x² + 18x = 2x(x² − 6x + 9) = 2x(x − 3)². Во второй скобке крайние слагаемые — квадраты x и 3, среднее равно −2 · x · 3. Если решать уравнение с таким произведением, возможны x = 0 и x = 3; деление на x до выделения случаев потеряло бы нулевой корень.
Три члена и группировка
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3). После разделения среднего члена получилось две группы. Проверка: произведение даёт x² + 3x + 2x + 6.
Как помогает теорема Безу
Если P(c) = 0, то многочлен P(x) делится на x − c без остатка. Это следствие более общей формулировки: остаток при делении P(x) на x − c равен P(c). Подбор предполагаемого корня становится полезным только после проверки подстановкой.
Возьмём P(x) = x³ − 4x² + x + 6. При x = 2 получаем 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Деление на x − 2 даёт x² − 2x − 3; его разложение — (x − 3)(x + 1). Значит, P(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1). Проверяйте все коэффициенты, а не только найденный корень: один корень ещё не подтверждает весь ответ.
Самостоятельное задание
Разложите 3t³ − 12t² + 12t. Ответ: 3t(t − 2)². Если выражение используется в дроби, сначала запишите ограничения её исходного знаменателя. В задачах школьного курса обычно работают с действительными числами; «разложить до конца» зависит от того, какие множители допускаются в задаче.
Подробности — деление многочленов и выделение полного квадрата. Формулы из таблицы сокращённого умножения помогают распознавать удобную структуру, но не заменяют проверку.
Кратко о главном
- Разложение на множители — превращение суммы в произведение.
- Первым делом ищут и выносят общий множитель.
- Группировка применяется, когда членов четыре или больше.
- Формулы сокращённого умножения раскладывают разность квадратов и квадраты.
- Проверка — перемножить скобки и сравнить с исходным выражением.