Многочлены 7 класс: объяснение
📐 Алгебра · 7 класс
Многочлен — сумма одночленов: 3x² + 2x − 5. Стандартный вид, степень многочлена, сложение, вычитание, умножение многочленов, формулы — объяснение с примерами для 7 класса.
Что такое многочлен
Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют его членом. Например, 3x² − 5x + 7 — это многочлен из трёх членов: 3x², −5x и 7. Многочлен из двух членов называют двучленом, из трёх — трёхчленом.
Подобные члены и стандартный вид
Подобными называют одночлены, у которых одинаковая буквенная часть (одни и те же переменные в одинаковых степенях). Например, 4x² и −9x² подобны, а 4x² и 4x³ — нет. Подобные члены можно складывать — это называется приведением подобных.
Многочлен записан в стандартном виде, если в нём приведены все подобные члены и одночлены записаны в стандартном виде, обычно по убыванию степеней. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней его членов.
| Многочлен | Число членов | Степень |
|---|---|---|
x + 5 | 2 (двучлен) | 1 |
2x² − 3x + 1 | 3 (трёхчлен) | 2 |
a³ − a | 2 | 3 |
Сложение и вычитание многочленов
Чтобы сложить многочлены, нужно записать их члены подряд и привести подобные. Чтобы вычесть один многочлен из другого, надо к первому прибавить второй, изменив у каждого его члена знак на противоположный. Иначе говоря, при раскрытии скобок перед знаком «минус» все знаки внутри меняются.
Пошаговый пример
Вычтем из многочлена 5x² − 2x + 3 многочлен 2x² + 4x − 1.
Дано: (5x² − 2x + 3) − (2x² + 4x − 1)
Шаг 1. Раскрываем скобки. Перед второй
скобкой минус — меняем все знаки:
5x² − 2x + 3 − 2x² − 4x + 1
Шаг 2. Группируем подобные члены:
(5x² − 2x²) + (−2x − 4x) + (3 + 1)
Шаг 3. Приводим подобные:
3x² − 6x + 4
Ответ: 3x² − 6x + 4.Раскрытие скобок
Перед сложением и вычитанием многочленов часто приходится раскрывать скобки. Действует простое правило: если перед скобкой стоит знак «плюс», скобку убирают, а знаки внутри сохраняют. Если перед скобкой «минус», то при её снятии все знаки внутри меняются на противоположные. Это правило — ключ к безошибочной работе с многочленами, и именно на нём чаще всего спотыкаются.
Зачем нужен стандартный вид
Приведение многочлена к стандартному виду делает его компактным и удобным для сравнения. Два многочлена считаются равными, если после приведения к стандартному виду у них совпадают все коэффициенты при одинаковых степенях. Без приведения подобных членов легко не заметить, что два разных по виду выражения на самом деле равны.
Частые ошибки. 1) При вычитании меняют знак только у первого члена скобки, забывая про остальные. 2) Складывают неподобные члены: 3x² + 2x упростить нельзя. 3) Теряют свободный член (число без буквы) при приведении подобных.Умножение и деление: где появляется остаток
При умножении каждый член первой скобки умножают на каждый член второй, затем приводят подобные. Например, (x + 3)(2x − 1) = 2x² − x + 6x − 3 = 2x² + 5x − 3. Сложение степеней применяется внутри произведения степеней, а не вместо сложения членов.
Деление на одночлен
(9x³ − 6x²)/(3x) = 3x² − 2x при x ≠ 0. Каждый член числителя делится на весь одночлен. Ограничение нужно исходной дроби даже тогда, когда итоговый многочлен можно вычислить при нуле. Для буквенных одночленов результат не всегда многочлен: например, (x + 1)/x = 1 + 1/x при x ≠ 0.
Деление многочлена на многочлен
Для ненулевого делителя Q(x) можно записать P(x) = Q(x)S(x) + R(x), где остаток равен нулю или имеет степень ниже степени делителя. Это тождество многочленов; запись дроби P(x)/Q(x) дополнительно требует Q(x) ≠ 0.
Разделим x² + 3x + 5 на x + 1. Первый член частного x: вычитаем x(x + 1) и получаем 2x + 5. Следующий член частного 2: вычитаем 2(x + 1), остаётся 3. Итак, x² + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3. Частное x + 2, остаток 3.
Дробь равна x + 2 + 3/(x + 1), x ≠ −1. Проверка: (x + 1)(x + 2) + 3 = x² + 3x + 2 + 3. Нельзя назвать x + 2 полным результатом деления без упоминания остатка.
Проверка понимания
У многочлена x² − 4 при делении на x − 2 частное x + 2, остаток нулевой. Поэтому он раскладывается как (x − 2)(x + 2). Это тождество верно при любом x, но соответствующая дробь по-прежнему не определена при x = 2. Подробнее — разложение на множители и деление многочленов.
Кратко о главном
- Многочлен — сумма одночленов (его членов).
- Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть и складываются.
- Степень многочлена — наибольшая степень среди его членов.
- При вычитании знаки всех членов в скобке меняются на противоположные.
- Результат всегда приводят к стандартному виду.