Графики тригонометрических функций: синусоида, тангенс
📐 Алгебра · 10 класс
График синуса — синусоида, косинуса — косинусоида (сдвинутая синусоида), тангенса и котангенса — тангенсоида с вертикальными асимптотами. Свойства, период, построение, 10 класс.
Графики тригонометрических функций
График тригонометрической функции наглядно показывает, как меняется значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса при изменении угла. Умение представлять график мысленно очень полезно: по нему сразу видно область значений, период, чётность, нули функции и промежутки, на которых она возрастает или убывает. Поэтому графики — это удобный язык для описания свойств тригонометрических функций.
Все четыре функции периодичны, а значит, их графики повторяются. Достаточно изучить один период, и остальная картина получается простым сдвигом вдоль оси углов.
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называют синусоидой. Это плавная волна, которая колеблется между значениями -1 и 1 и повторяется с периодом 2π. Функция проходит через начало координат, поднимается до максимума, опускается до минимума и возвращается обратно. График y = cos x имеет точно такую же форму, но сдвинут влево на π/2: справедливо тождество cos x = sin(x + π/2). Поэтому косинусоиду часто называют сдвинутой синусоидой.
Тангенс и котангенс
График y = tg x устроен иначе: он состоит из отдельных возрастающих ветвей и имеет период π. В точках x = π/2 + πn функция не определена, и там проходят вертикальные асимптоты — прямые, к которым график неограниченно приближается, но никогда их не пересекает. Область значений тангенса — все действительные числа. График котангенса похож, но его ветви убывают, а асимптоты проходят в точках x = πn.
| Функция | Период | Область значений | Чётность |
|---|---|---|---|
y = sin x | 2π | [-1; 1] | нечётная |
y = cos x | 2π | [-1; 1] | чётная |
y = tg x | π | вся прямая | нечётная |
y = ctg x | π | вся прямая | нечётная |
Опорные точки
Чтобы быстро и без ошибок построить синусоиду, достаточно отметить ключевые точки одного периода, а затем соединить их плавной линией. Эти же точки помогают проверить уже построенный график.
x = 0 → sin x = 0x = π/2 → sin x = 1 (максимум)x = π → sin x = 0x = 3π/2 → sin x = -1 (минимум)x = 2π → sin x = 0
Частые ошибки. Путают период тангенса (π) и синуса (2π). Забывают изобразить асимптоты у тангенса, из-за чего график получается неверным. График косинуса нередко считают «сдвинутым вправо», хотя на самом деле он сдвинут влево относительно синуса. Ещё ошибаются с областью значений, выходя за границы отрезка от -1 до 1 для синуса и косинуса.
Кратко о главном
- График синуса — волна (синусоида) с периодом
2πи значениями от -1 до 1. - Косинусоида — та же волна, сдвинутая влево на
π/2. - Тангенс и котангенс имеют период
πи вертикальные асимптоты. - Синус, тангенс и котангенс нечётны, косинус — чётный.
- Для построения удобно использовать опорные точки одного периода.