Алгебра · 9 класс

Степени с целым показателем

Степень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.

Квадратный трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.

Числовые последовательности

Понятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.

Геометрическая прогрессия

Знаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.

Степенная функция

y = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.

Уравнения и неравенства с модулем

Определение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.

Вероятность

Случайные события, классическое определение вероятности, формулы.

Статистика

Генеральная совокупность, выборка, характеристики: среднее, дисперсия.

Арифметическая прогрессия

Последовательность с постоянной разностью: формула n-го члена и сумма первых членов.

Системы уравнений второй степени

Решение систем, где есть уравнение второй степени: способы подстановки и сложения.

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения с переменной в знаменателе: общий знаменатель и область допустимых значений.

Неравенства второй степени с одной переменной

Решение квадратных неравенств через параболу и знаки на координатной прямой.

Метод интервалов

Универсальный способ решения рациональных неравенств с помощью числовой прямой.

Область определения функции

Множество допустимых значений аргумента: дроби, корни и их сочетания.

Функция «квадратный корень» и преобразования графиков

График функции корня и сдвиги графиков вдоль осей координат.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Как вывести и применять формулу суммы первых членов арифметической прогрессии при решении задач.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии, её вывод и применение в задачах.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формула суммы всех её членов.

Квадратичная функция и её график

Свойства квадратичной функции, координаты вершины параболы и построение её графика.

Свойства функций: возрастание, убывание, чётность

Основные свойства числовых функций: монотонность, чётность и нечётность, нули функции.

Целые уравнения и их корни

Целые уравнения, степень уравнения и способы их решения, включая разложение на множители.

Графический способ решения систем уравнений

Решение систем уравнений построением графиков и определение числа решений по их расположению.

Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания

Правило умножения и формулы перестановок, размещений и сочетаний при подсчёте вариантов.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Как находить нули функции и определять промежутки, где функция положительна или отрицательна.

Решение неравенств методом замены переменной

Приём введения новой переменной для сведения сложных неравенств к неравенствам второй степени.

Теорема Виета

Связь корней приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами и обратная теорема для устного подбора.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Формула разложения через корни и применение для сокращения дробей и упрощения выражений.

Метод выделения полного квадрата

Приём преобразования квадратного трёхчлена к виду квадрата двучлена для решения уравнений и поиска вершины параболы.

Свойства арифметического квадратного корня

Корень из произведения, частного и степени; вынесение и внесение множителя под знак корня.

Преобразование графиков функций

Сдвиги вдоль осей, растяжения, сжатия и отражения графиков, заданных формулами.

Как решать биквадратные уравнения: примеры

Биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 решают заменой x² = t: получают квадратное уравнение, находят t ≥ 0 и извлекают корни. Алгоритм и 5 примеров с решением для 9 класса.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Универсальный приём замены повторяющегося выражения новой буквой для упрощения уравнений.

Системы уравнений: метод подстановки

Решение систем выражением одной переменной через другую и подстановкой в оставшееся уравнение.

Решение текстовых задач на движение

Составление уравнений по связи пути, скорости и времени; движение по реке, навстречу и вдогонку.

Решение текстовых задач на совместную работу

Понятие производительности, связь работы и времени, задачи о совместном выполнении работы.

Решение задач на смеси, сплавы и концентрацию

Понятие концентрации и доли вещества; составление уравнений при смешивании растворов и сплавов.

Рекуррентный способ задания последовательностей

Задание последовательности через предыдущие члены; сравнение с формулой n-го члена на примерах.

Неравенства с двумя переменными

Как изображать на координатной плоскости множество решений неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Графический способ решения уравнений

Как находить корни уравнения по точкам пересечения графиков двух функций и оценивать число решений.

Системы уравнений: метод сложения

Алгебраическое сложение уравнений системы для исключения переменной и нахождения решения.

Функция обратной пропорциональности

Свойства функции y = k/x, её график-гипербола, область определения и поведение в зависимости от знака k.

Тождественные преобразования целых выражений

Приёмы упрощения многочленов: вынесение множителя, формулы сокращённого умножения, приведение подобных.

Степень с рациональным показателем

Понятие степени с дробным показателем, связь с корнями и правила действий с такими степенями.

Решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Как переводить условие задачи на язык системы уравнений с двумя неизвестными и доводить решение до ответа.

Чётные и нечётные функции

Определения чётности и нечётности функции, признаки симметрии графика и способы проверки.

Относительная частота случайного события

Понятие частоты и относительной частоты события, их связь со статистической вероятностью.

Характеристики числового ряда: среднее, мода, медиана, размах

Как вычислять среднее арифметическое, моду, медиану и размах ряда данных и что они показывают.

Дискриминант и число корней квадратного уравнения

Формула дискриминанта, его связь с количеством корней и формула корней квадратного уравнения.

Наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции

Как по координатам вершины параболы находить экстремальное значение функции и промежутки монотонности.

Деление многочленов уголком

Алгоритм деления многочлена на многочлен «столбиком» с выделением частного и остатка.

Теорема Безу и поиск корней многочлена

Как остаток от деления связан со значением многочлена и как подбирать рациональные корни.

Симметрические системы уравнений

Решение систем, не меняющихся при перестановке переменных, через сумму и произведение.

Метод оценки при решении уравнений

Сравнение левой и правой частей по их наибольшему и наименьшему значениям.

Дробно-линейная функция и её график

Функция вида отношения двух линейных выражений, гипербола со сдвигом и асимптоты.

Линейные уравнения с параметром

Исследование числа решений уравнения в зависимости от значения параметра.

Знак сигма в математике: что значит Σ

Сигма (Σ) в математике — это знак суммы: Σ от i=1 до n означает сложить все члены с номерами от 1 до n. Как читать запись, пределы суммирования, примеры и свойства.

Признаки делимости и остатки

Признаки делимости натуральных чисел и работа с остатками от деления.

Задачи на проценты и банковские вклады

Простые и сложные проценты, расчёт вклада и прироста за несколько периодов.

Среднее арифметическое, геометрическое и неравенство между ними

Виды средних двух положительных чисел и неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Преобразование дробей с корнями домножением на сопряжённое выражение.

Метод математической индукции

Доказательство утверждений, зависящих от натурального числа, базой и шагом индукции.

Транснеравенство: как выгодно соединять два упорядоченных набора

Транснеравенство, или неравенство о перестановках, сравнивает суммы попарных произведений двух упорядоченных наборов. Наибольшая сумма получается при одинаковом порядке, наименьшая