Неравенства второй степени с одной переменной
📐 Алгебра · 9 класс
Решение квадратных неравенств через параболу и знаки на координатной прямой.
Что это такое
Неравенством второй степени с одной переменной называют неравенство вида ax^2 + bx + c > 0 (или со знаками <, ≥, ≤), где старший коэффициент a ≠ 0. Решить такое неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно становится верным.
В основе решения лежит график квадратичной функции y = ax^2 + bx + c — это парабола. Знак выражения зависит от того, выше или ниже оси абсцисс находится соответствующая точка параболы. Там, где парабола выше оси, выражение положительно; где ниже — отрицательно.
Роль дискриминанта и ветвей
Сначала находят корни уравнения ax^2 + bx + c = 0 через дискриминант D = b^2 - 4ac. Корни показывают, где парабола пересекает горизонтальную ось. Направление ветвей определяет знак коэффициента a: при a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
| Дискриминант | Корни | Где выражение положительно (при ветвях вверх) |
|---|---|---|
D > 0 | Два разных корня | Вне отрезка между корнями |
D = 0 | Один корень | Везде, кроме самого корня |
D < 0 | Корней нет | На всей числовой прямой |
Разобранный пример
x^2 - 5x + 6 > 0Найдём корни: уравнение x^2 - 5x + 6 = 0 даёт x = 2 и x = 3. Ветви параболы направлены вверх, потому что старший коэффициент равен единице. Значит выражение положительно вне корней. Ответ: x < 2 или x > 3.
Если бы знак неравенства был < 0, нас интересовала бы часть параболы ниже оси, и ответом стал бы промежуток между корнями: 2 < x < 3. А при нестрогом знаке ≤ 0 в ответ вошли бы и сами корни: 2 ≤ x ≤ 3.
Случай без корней
Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось и целиком лежит по одну сторону от неё. Например, для x^2 + x + 1 > 0 дискриминант отрицателен, ветви вверх, поэтому выражение положительно при любом значении переменной — неравенство верно для всех чисел. Если бы в этом случае стоял знак < 0, неравенство не имело бы решений вовсе: парабола нигде не опускается ниже оси. Поэтому случай отрицательного дискриминанта стоит разбирать особенно внимательно, проверяя направление ветвей и знак неравенства.
Правило. При ветвях вверх выражение отрицательно между корнями и положительно вне корней. При ветвях вниз — наоборот. Нестрогое неравенство (≥или≤) включает сами корни, строгое — не включает.
Частые ошибки. Не учитывают направление ветвей; путают, где выражение положительно, а где отрицательно; забывают включать или исключать концы промежутка в зависимости от строгости знака; не рассматривают случай, когда корней нет.
Кратко о главном
- Неравенство второй степени решают, опираясь на параболу.
- Корни уравнения делят числовую прямую на промежутки.
- Знак старшего коэффициента задаёт направление ветвей и знак выражения вне корней.
- В нестрогом неравенстве корни входят в ответ.
- При отрицательном дискриминанте выражение сохраняет один знак на всей прямой.