Степень с натуральным показателем

Что такое степень с натуральным показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим единицы, называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Записывают это так: a^n = a·a·…·a (всего n множителей). Число a называют основанием степени, а число n — показателем степени. Возведение в степень — это новое, пятое арифметическое действие, которое появляется в курсе алгебры седьмого класса и которым мы будем пользоваться постоянно.

Запись a^n читают: «a в степени n». Например, 2^5 читают «два в пятой степени» и понимают как 2·2·2·2·2 = 32. Степень — это короткая запись длинного произведения одинаковых множителей, поэтому она экономит время и место. Особенно это удобно, когда множителей очень много: вместо того чтобы выписывать десять одинаковых двоек, мы пишем коротко 2^{10}.

Особые случаи показателя

По определению степень с показателем 1 равна самому основанию: a^1 = a. Это естественно: «произведение одного множителя» — это и есть сам этот множитель. Вторую степень числа называют квадратом (например, 7^2 — «семь в квадрате»), а третью степень — кубом (4^3 — «четыре в кубе»). Эти названия связаны с геометрией: площадь квадрата со стороной a равна a^2, а объём куба с ребром a равен a^3.

Чтобы найти значение степени, нужно перемножить основания нужное число раз. Полезно помнить наизусть таблицу степеней небольших чисел — она часто встречается в вычислениях.

Знак степени

Чтобы правильно найти знак степени, важно помнить про скобки и про чётность показателя. Когда отрицательное число умножают само на себя, минусы попарно «гасятся», давая плюс. Поэтому результат зависит от того, чётное число множителей или нечётное.

Из таблицы видно правило: отрицательное число в чётной степени даёт положительный результат, а в нечётной — отрицательный. При этом положительное число в любой степени остаётся положительным.

Разобранный пример

Найдём значение выражения (-2)^4 + (-1)^7.

(-2)^4 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16 (чётный показатель — результат положителен);

(-1)^7 = -1 (нечётный показатель);

16 + (-1) = 15.

Ответ: 15. Обратите внимание, что сначала мы вычислили каждую степень по отдельности и только потом выполнили сложение: возведение в степень выполняется раньше сложения.

Частые ошибки. Не путайте -a^2 и (-a)^2: в первом случае возводится в степень только a, а минус остаётся перед результатом, во втором в степень возводится всё число вместе со знаком. Также показатель — это не множитель: 3^4 не равно 3·4, а равно 81. И ещё: возведение в степень в порядке действий стоит раньше умножения, деления, сложения и вычитания.

Кратко о главном

• Степень a^n — это произведение n одинаковых множителей, равных a.
• Число a — основание, число n — показатель степени.
• a^1 = a; вторую степень называют квадратом, третью — кубом.
• Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.
• Возведение в степень выполняется раньше остальных действий.