Комбинаторика
📐 Алгебра · 10 класс
Перестановки, сочетания, размещения. Формулы и задачи.
Практика и разбор обновлены 27 октября 2026 года.
Что изучает комбинаторика
Комбинаторика — раздел математики, который отвечает на вопрос «сколькими способами?». Сколькими способами рассадить гостей, составить пароль, выбрать команду из класса — всё это комбинаторные задачи. Главное умение здесь — определить, важен ли порядок элементов и допускаются ли повторения. От ответов на эти два вопроса зависит выбор формулы.
Выбор команды и назначение ролей — разные задачи
Перед применением формулы выясните, важен ли порядок и разрешены ли повторения. Один и тот же набор людей может дать разные исходы, если людям назначают разные роли. Удобно проверить это на маленьком примере, прежде чем считать большой.
Задача для самостоятельной попытки
Из шести учеников выбирают двоих. Сколько существует пар? Сколькими способами можно назначить капитана и его заместителя?
Решение по шагам
Пар без учёта порядка C₆² = 6 · 5 / 2 = 15. Для разных ролей сначала выбирают капитана шестью способами, затем заместителя пятью: 6 · 5 = 30. Деление на два здесь убрало бы разные назначения.
Где обычно ошибаются
Не выбирайте формулу только потому, что в условии есть слово «выбрать». Сначала проверьте, считается ли перестановка участников новым исходом. Пароль из четырёх цифр с разрешённым нулём в начале и повторениями — ещё другая задача: 10⁴ = 10 000.
Проверка результата
Составьте все пары из трёх букв A, B, C: AB, AC, BC. Затем перечислите назначения ролей: AB и BA становятся разными. Этот контроль показывает, почему в первом расчёте есть деление на 2, а во втором нет.
Комбинаторика — фундамент теории вероятностей: чтобы найти вероятность по классической формуле, сначала нужно посчитать число всех исходов и число благоприятных, а это именно комбинаторная задача.
Правило умножения
Если первый выбор можно сделать k способами, а второй — независимо от первого — m способами, то вместе их можно сделать k · m способами. Это базовое правило, из которого выводятся все остальные формулы. Например, если есть 3 рубашки и 4 пары брюк, то комплектов одежды будет 3 · 4 = 12.
Три основные схемы
Факториал n! = 1·2·3·…·n — это произведение всех натуральных чисел до n, оно равно числу перестановок n различных элементов. По определению 0! = 1. Сравним три классические ситуации.
| Понятие | Порядок важен? | Формула |
|---|---|---|
| Перестановки Pₙ | Да, берём все элементы | Pₙ = n! |
| Размещения Aₙᵏ | Да, берём k из n | Aₙᵏ = n! / (n−k)! |
| Сочетания Cₙᵏ | Нет, берём k из n | Cₙᵏ = n! / (k!·(n−k)!) |
Простой ориентир: если перестановка элементов даёт новый вариант (например, разные места на пьедестале почёта) — это размещение; если порядок безразличен и важен только состав (просто группа из людей) — это сочетание.
Разбор примера
В классе 10 человек. Нужно выбрать: а) старосту и его заместителя; б) двух дежурных. Сколько способов в каждом случае?
а) Должности разные — порядок важен, это размещения:
A(10,2) = 10! / 8! = 10 · 9 = 90 способов.
б) Дежурные равноправны — порядок не важен, это сочетания:
C(10,2) = 10! / (2! · 8!) = (10 · 9) / 2 = 45 способов.
Заметим: сочетаний ровно вдвое меньше, потому что пара (Аня, Боря)
и (Боря, Аня) — это один и тот же состав дежурных,
но две разные расстановки на должности старосты и заместителя.
Этот пример показывает суть: одно и то же число элементов даёт разные ответы в зависимости от того, важен порядок или нет.
Частые ошибки: путают размещения и сочетания — всегда спрашивайте себя «меняет ли перестановка результат?»; пытаются сократить факториалы целиком вместо того, чтобы записать 10!/8! = 10·9; забывают делить на k! в сочетаниях и завышают ответ.
Кратко о главном
- Комбинаторика считает число способов выбора и расстановки.
- Правило умножения — основа всех формул.
- Порядок важен → перестановки или размещения; не важен → сочетания.
Pₙ = n!,Aₙᵏ = n!/(n−k)!,Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!).- Факториалы удобно сокращать, не вычисляя их полностью.