Свойства квадратичной функции

Квадратичная функция и её свойства

Квадратичной называют функцию вида y = ax^2 + bx + c, где a ≠ 0. Её графиком является парабола. Зная коэффициенты, можно описать все свойства функции, не строя график полностью. Это очень удобно: достаточно несколько вычислений, чтобы понять, как ведёт себя функция, где у неё максимум или минимум и где она пересекает оси.

Направление ветвей и вершина

Если a > 0, ветви направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в вершине. Если a < 0, ветви смотрят вниз, и в вершине достигается наибольшее значение. Абсцисса вершины находится по формуле x_0 = -b/(2a), а ордината — подстановкой этого значения в функцию. Вершина — ключевая точка параболы, через которую проходит ось симметрии.

Свойство	Как найти
Ось симметрии	прямая x = -b/(2a)
Вершина	точка (x_0; y_0)
Нули функции	корни уравнения ax^2 + bx + c = 0
Пересечение с осью игрек	точка (0; c)
Направление ветвей	по знаку a

Монотонность

Парабола меняет характер в вершине. При a > 0 функция убывает до вершины и возрастает после неё. При a < 0 наоборот: сначала возрастает, потом убывает. Промежутки возрастания и убывания записывают относительно абсциссы вершины.

1. Находим x_0 = -b/(2a).
2. Определяем направление ветвей по знаку a.
3. Записываем промежутки возрастания и убывания.
4. Вычисляем ординату вершины как наибольшее или наименьшее значение.

Пример: для y = x^2 - 4x + 3 вершина в x_0 = 2, y_0 = -1. Ветви вверх, функция убывает на промежутке (-∞; 2] и возрастает на [2; +∞). Наименьшее значение функции равно -1. Нули находим, решив уравнение: x = 1 и x = 3.

Частая ошибка — перепутать наибольшее и наименьшее значения. Запомните: ветви вверх — есть минимум, ветви вниз — есть максимум. Также не забывайте про минус в формуле абсциссы вершины.

Влияние свободного члена

Коэффициент c показывает, в какой точке парабола пересекает ось ординат: это всегда точка (0; c). Если c положительно, парабола пересекает ось выше начала координат, если отрицательно — ниже. Это позволяет быстро проверить чертёж: достаточно посмотреть, где график встречает вертикальную ось.

Связь с дискриминантом

Число нулей функции зависит от дискриминанта уравнения ax^2 + bx + c = 0. Если дискриминант положителен, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если равен нулю — касается её в одной точке, а если отрицателен — не пересекает ось вовсе. Так свойства функции тесно связаны с теорией квадратных уравнений.

Кратко о главном

• График квадратичной функции — парабола.
• Знак a задаёт направление ветвей.
• Вершина находится в x = -b/(2a).
• Монотонность меняется в вершине.
• Ось симметрии проходит через вершину.