Решение текстовых задач с помощью уравнений

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Многие текстовые задачи удобно решать алгебраическим способом — с помощью уравнения. Идея в том, чтобы неизвестную величину обозначить буквой, а затем по условию задачи составить равенство — уравнение, решив которое мы найдём искомое число. Этот приём универсален: он работает для задач на движение, совместную работу, покупки, возраст и многое другое, тогда как арифметический способ для каждого типа задач свой.

Этапы решения

Решение текстовой задачи уравнением обычно проходит в три этапа, и каждый из них одинаково важен.

1. Составление уравнения. Неизвестную величину обозначают переменной (чаще x), остальные величины выражают через неё и записывают равенство по смыслу условия. Это самый сложный и творческий этап.
2. Решение уравнения. Полученное уравнение решают известными способами: раскрывают скобки, переносят слагаемые, приводят подобные.
3. Проверка и ответ. Найденное значение проверяют по условию задачи и записывают ответ с наименованием величины.

Как выбрать неизвестную

За x удобно принимать ту величину, через которую легко выразить остальные. Часто помогает короткая таблица или краткая запись данных задачи: она делает связи между величинами наглядными.

Разобранный пример

У Ани и Бори вместе 27 тетрадей, причём у Бори на 5 тетрадей больше. Сколько тетрадей у каждого?

Пусть у Ани x тетрадей, тогда у Бори x + 5 тетрадей.

По условию всего 27, поэтому x + (x + 5) = 27.

2x + 5 = 27; 2x = 22; x = 11.

Значит, у Ани 11 тетрадей, у Бори 11 + 5 = 16 тетрадей.

Проверка: 11 + 16 = 27 — верно.

Ответ: у Ани 11 тетрадей, у Бори 16 тетрадей. Заметьте, что мы выбрали неизвестной меньшую величину — так выражение для второй величины получилось простым. Если бы за x мы приняли число тетрадей у Бори, то у Ани было бы x - 5, и уравнение тоже привело бы к верному ответу.

Частые ошибки. Обязательно проверяйте ответ по смыслу: число тетрадей, людей или книг не может быть отрицательным или дробным, а скорость или длина — отрицательной. Не забывайте про наименование в ответе и про этап проверки — он показывает, что уравнение составлено и решено правильно. Внимательно читайте условие: слова «больше», «меньше», «во сколько раз» подсказывают, какое действие записать.

От линейной модели к экзаменационным типам задач

Ниже — собственные тренировочные задачи разной сложности. Они не являются официальным вариантом ОГЭ или ЕГЭ и не закреплены за номером задания. После составления модели важны область допустимых значений и проверка по исходному сюжету.

Движение: расстояние известно, скорость неизвестна

Маршрут длиной 180 км можно пройти со скоростью на 15 км/ч больше первоначальной, затратив на час меньше. Найдите обе скорости. Пусть первоначальная скорость x > 0. Время — расстояние, делённое на скорость: 180/x и 180/(x + 15). Поэтому 180/x − 180/(x + 15) = 1.

После умножения на x(x + 15) получаем 2700 = x² + 15x. Корни уравнения x² + 15x − 2700 = 0 равны 45 и −60. Отрицательный не подходит по смыслу. Ответ: 45 и 60 км/ч. Проверка: 180/45 = 4 часа, 180/60 = 3 часа; разность — час.

Совместная работа: складывается производительность

Два исполнителя вместе выполняют работу за 12 часов. Первый один справляется за 20 часов. За сколько часов справится второй? За час вместе они выполняют 1/12 работы, первый — 1/20. Производительность второго: 1/12 − 1/20 = 1/30. Следовательно, ему нужно 30 часов.

Вычесть 20 из 12 нельзя: сроки не складываются так же, как производительности. Предполагается, что исполнители работают с постоянной скоростью и не мешают друг другу. Без таких условий модель нуждается в уточнении.

Короткий тест на самостоятельное составление модели

1. Заказ включает доставку за 40 рублей и n одинаковых тетрадей по 35 рублей. Всего уплачено 250 рублей. Найдите n.
2. Два насоса вместе заполняют резервуар за 6 часов, первый отдельно — за 10 часов. Найдите время второго при самостоятельной работе.
3. Путь 120 км при увеличении скорости на 10 км/ч занимает на час меньше. Найдите первоначальную положительную скорость.

Все цены и производственные ситуации условные. Перед вычислением запишите уравнение и единицы измерения.

Ответы с проверкой

1. 35n + 40 = 250; n = 6. Проверка: 210 + 40 = 250. 2. 1/t = 1/6 − 1/10 = 1/15, поэтому t = 15 часов. 3. 120/x − 120/(x + 10) = 1; x² + 10x − 1200 = 0. Корни 30 и −40; подходит 30 км/ч. Времена — 4 и 3 часа.

Если ответ не получился, отметьте этап: выбор неизвестной, перевод условия в равенство, решение или проверка. Для второго этапа полезны преобразования выражений, для квадратной модели — квадратные уравнения. Верный корень не исправляет неверно составленную модель.

Кратко о главном

• Текстовую задачу можно решить, составив по её условию уравнение.
• Решение состоит из трёх этапов: составить уравнение, решить его, проверить и записать ответ.
• За неизвестную берут величину, через которую удобно выразить остальные.
• Найденное значение нужно проверять по смыслу задачи.
• Краткая запись или таблица помогает увидеть связи между величинами.