Понятие функции
📐 Алгебра · 7 класс
Функция и её график. Линейная функция y = kx + b, прямая пропорциональность.
Что такое функция
Функция — это правило, по которому каждому значению одной переменной (её называют независимой, или аргументом) ставится в соответствие ровно одно значение другой переменной (зависимой). Аргумент обычно обозначают буквой x, а зависимую переменную — y. Записывают это так: y = f(x).
Пример из жизни: если 1 кг яблок стоит 80 рублей, то стоимость покупки y зависит от массы x по правилу y = 80x. Каждому значению массы соответствует одна цена — значит, это функция.
График функции
График функции — это множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса равна значению аргумента, а ордината — соответствующему значению функции. Проще говоря, мы берём пары (x; y) и отмечаем их точками. График делает поведение функции наглядным: сразу видно, где она растёт, а где убывает.
Линейная функция
Линейной называют функцию вида y = kx + b, где k и b — числа. Её график — прямая линия. Число k называют угловым коэффициентом: оно показывает наклон прямой. Число b — это ордината точки пересечения с осью y.
| Значение k | Поведение функции | Наклон прямой |
|---|---|---|
| k > 0 | возрастает | идёт вверх слева направо |
| k < 0 | убывает | идёт вниз слева направо |
| k = 0 | постоянна (y = b) | горизонтальная прямая |
Прямая пропорциональность
Если в формуле y = kx + b положить b = 0, получится y = kx — это прямая пропорциональность. Её график — прямая, проходящая через начало координат (точку 0; 0). При прямой пропорциональности во сколько раз увеличивается x, во столько же раз увеличивается y.
Пошаговый пример
Построим график функции y = 2x − 1.
Дано: y = 2x − 1
Шаг 1. Возьмём два удобных значения x.
Прямую задают всего две точки.
Шаг 2. Пусть x = 0: y = 2·0 − 1 = −1.
Получили точку A(0; −1).
Шаг 3. Пусть x = 2: y = 2·2 − 1 = 3.
Получили точку B(2; 3).
Шаг 4. Отмечаем A и B на плоскости
и проводим через них прямую.
Ответ: график — прямая через (0; −1) и (2; 3).Как читать график
По готовому графику можно многое узнать о функции. Точка пересечения с осью y даёт значение b. Если прямая поднимается слева направо, угловой коэффициент положителен, если опускается — отрицателен. Чтобы найти k по графику, берут две точки прямой и считают, на сколько изменилась ордината при изменении абсциссы на единицу. Умение читать график так же важно, как умение его строить.
Частые ошибки. 1) Берут только одну точку — через одну точку проходит сколько угодно прямых. 2) Ошибаются в знаке b: в y = 2x − 1 прямая пересекает ось y в точке −1, а не +1. 3) Путают, что отвечает за наклон (k), а что за сдвиг по вертикали (b). 4) Считают любую кривую графиком функции, забывая, что каждому x должно соответствовать только одно y.Карта основных функций: сравниваем, а не смешиваем
Таблица — маршрут к темам разных классов. Для первого знакомства достаточно линейной функции; остальные примеры удобно возвращать по мере изучения. Здесь функции рассматриваются над действительными числами. Обозначение ℝ означает все действительные числа.
| Пример | Область определения | Значения и узнаваемое свойство |
|---|---|---|
| y = C | ℝ | Одно значение C; горизонтальная прямая |
| y = kx + b, k ≠ 0 | ℝ | ℝ; прямая с ненулевым наклоном |
| y = x² | ℝ | [0; +∞); парабола, значения неотрицательны |
| y = x³ | ℝ | ℝ; отрицательному x соответствует отрицательный y |
| y = 1/x | x ≠ 0 | y ≠ 0; две ветви гиперболы |
| y = √x | x ≥ 0 | y ≥ 0; точка (0; 0) допустима |
| y = aˣ, a > 0, a ≠ 1 | ℝ | (0; +∞); проходит через (0; 1) |
| y = logₐx, a > 0, a ≠ 1 | x > 0 | ℝ; проходит через (1; 0) |
| y = sin x; y = cos x | ℝ | [−1; 1]; периодические, аргумент здесь в радианах |
| y = tan x | x ≠ π/2 + πk, k — целое | ℝ; имеет разрывы в исключённых точках |
Что проверять до построения
Сначала найдите допустимые x. Затем подставьте несколько удобных значений, определите возможные y и посмотрите, можно ли соединять точки через весь промежуток. У y = 1/x нельзя провести линию через ноль: отсутствие точки связано с формулой, а не с плохим рисунком.
Сравните при x = −4: функция x² определена и равна 16; функция √x над действительными числами не определена; функция 1/x определена и равна −1/4. Один и тот же аргумент допустим не для каждой формулы.
Как выбрать следующий урок
Для параболы откройте квадратичную функцию; когда переменная находится в показателе, нужна показательная функция. Обратную к ней связь объясняет логарифмическая функция. Периодическое поведение и радианы разбираются в тригонометрии.
Не всякое уравнение линии задаёт y как функцию x. Например, вертикальная прямая x = 2 содержит много точек с одним x и разными y; условие единственности нарушается. И наоборот, график функции не обязан быть прямой: квадрат, корень и синус дают другие формы. Таблица не перечисляет все возможные функции и все варианты степенных показателей.
Кратко о главном
- Функция ставит каждому x ровно одно значение y.
- График — это все точки (x; y), нанесённые на плоскость.
- Линейная функция y = kx + b имеет график-прямую.
- k задаёт наклон и направление, b — точку пересечения с осью y.
- Прямая пропорциональность y = kx проходит через начало координат.