Умножение и деление рациональных дробей
📐 Алгебра · 8 класс
Правила перемножения дробей и деления через умножение на обратную.
Умножение и деление дробей
В отличие от сложения, при умножении и делении рациональных дробей общий знаменатель искать не нужно. Эти действия выполняются гораздо проще, и главное в них — вовремя раскладывать многочлены на множители и сокращать одинаковые. Тогда даже громоздкое на вид выражение приводится к короткому ответу.
Умножение
Правило умножения. Чтобы перемножить две дроби, перемножают их числители и отдельно знаменатели: (a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d).Перед перемножением многочлены раскладывают на множители и сокращают одинаковые. Это намного удобнее, чем сначала раскрыть все скобки, получить большие многочлены, а уже потом пытаться их упростить. Сокращение до умножения экономит силы и снижает риск ошибки.
Деление
Правило деления. Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь: (a/b)÷(c/d) = (a/b)·(d/c).То есть вторую дробь, на которую делят, «переворачивают» — меняют местами числитель и знаменатель, а затем действуют точно так же, как при умножении. Важно перевернуть именно делитель, то есть вторую дробь.
| Действие | Формула результата |
|---|---|
| Умножение | (a·c)/(b·d) |
| Деление | (a·d)/(b·c) |
| Возведение в степень | (a/b)^n = a^n/b^n |
Разбор примера
Перемножим дробь с разностью квадратов и простую дробь:
(x^2-9)/x · 1/(x+3) = ((x-3)(x+3))/(x(x+3)) = (x-3)/xЧислитель первой дроби разложили по формуле разности квадратов на множители (x-3)(x+3). После этого множитель (x+3) встретился и сверху, и снизу, поэтому его сократили. Ответ получился коротким и простым.
Частые ошибки. При делении переворачивают именно вторую дробь — делитель, а не первую. Сокращать можно только множители, но не отдельные слагаемые внутри суммы. И нельзя забывать про область допустимых значений: знаменатели всех дробей, в том числе появившиеся при перевороте, не должны обращаться в ноль.
Когда выгодно раскладывать
Раскладывать на множители стоит почти всегда: после этого, как правило, находятся одинаковые скобки сверху и снизу, и ответ заметно упрощается. Если же сразу перемножить скобки, выражение разрастётся, а возможность сократить станет почти незаметной. Поэтому опытные ученики сначала разлагают, и только потом перемножают то, что осталось.
Несколько дробей подряд
Когда умножают или делят сразу несколько дробей, действия выполняют по очереди слева направо, но удобнее сначала записать всё одной большой дробью: в числителе собирают произведение всех числителей, в знаменателе — всех знаменателей. После этого ищут общие множители по всему выражению и сокращают их. Такой подход помогает не потерять сокращения, которые видны только при общем взгляде на дробь. Если в цепочке есть деление, его сначала заменяют умножением на обратную дробь, а уже потом объединяют всё в одну дробь.
Степень дроби: полный пример и ограничения
Для натурального n правило имеет вид (A/B)ⁿ = Aⁿ/Bⁿ при B ≠ 0. В степень возводится весь числитель и весь знаменатель. Если они состоят из произведений, повышаются и коэффициенты, и степени переменных; если из сумм, нельзя возвести отдельно слагаемые.
Нечётная степень и отрицательный коэффициент
(−3a²/(2b³))³ = (−3)³ · (a²)³ / (2³ · (b³)³) = −27a⁶/(8b⁹), b ≠ 0. Отрицательный знак сохраняется при нечётном показателе. При квадрате той же дроби получилось бы 9a⁴/(4b⁶) с тем же ограничением b ≠ 0.
Если числитель — разность
((x − 2)/(x + 2))² = (x − 2)²/(x + 2)², x ≠ −2. При раскрытии получаем (x² − 4x + 4)/(x² + 4x + 4). Запись (x² − 4)/(x² + 4) неверна: исчезли средние члены квадратов.
При x = 2 дробь равна нулю, и квадрат равен нулю: запрета на нулевой числитель здесь нет. При x = −2 исходная дробь не определена. Проверять ограничения по уже сокращённой записи недостаточно.
Если показатель нулевой или отрицательный
Это расширение правила натуральной степени. Для (A/B)⁰ нужно A ≠ 0 и B ≠ 0, тогда результат 1. Для (A/B)⁻ᵐ = (B/A)ᵐ при натуральном m также нужны оба условия. Переворот не отменяет исходный запрет B = 0.
Например, ((x − 2)/(x + 2))⁻¹ = (x + 2)/(x − 2), но x ≠ −2 и x ≠ 2. В новой формуле запрет −2 уже не виден, поэтому его нужно сохранить отдельно.
Попробуйте сами
Упростите (−2u/(3v))². Ответ: 4u²/(9v²), v ≠ 0. Затем сравните с кубом: −8u³/(27v³). Привычка отдельно записывать коэффициент, степень переменной и ограничения помогает не потерять знак. Для проверки раскрытия пригодятся ФСУ и разложение на множители.
Кратко о главном
- При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
- Деление заменяется умножением на обратную дробь.
- Переворачивают именно делитель — вторую дробь.
- Перед действиями многочлены раскладывают на множители.
- Сокращают одинаковые множители, а не слагаемые.
- Степень дроби — это степень числителя и знаменателя.