Тождественные преобразования целых выражений

Что такое целое выражение

Целым выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень — но без деления на переменную. Тождественным преобразованием называют замену выражения на тождественно равное ему.

Два выражения тождественно равны, если они принимают равные значения при любых допустимых значениях переменных. Равенство, верное при всех значениях переменных, называют тождеством. Цель преобразований — записать выражение проще, не меняя его значений.

Основные приёмы

• приведение подобных слагаемых;
• раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобку;
• применение формул сокращённого умножения;
• группировка слагаемых для разложения на множители.

Формулы сокращённого умножения

Эти формулы — главный рабочий инструмент. Их полезно знать наизусть, чтобы быстро сворачивать и разворачивать выражения.

Название	Формула
квадрат суммы	(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
квадрат разности	(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2
разность квадратов	a^2 − b^2 = (a − b)(a + b)
сумма кубов	a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)
разность кубов	a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)

Разбор примера на упрощение

Упростим выражение (x + 3)^2 − (x − 1)(x + 1):

(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1 (разность квадратов) Разность: x^2 + 6x + 9 − (x^2 − 1) = x^2 + 6x + 9 − x^2 + 1 = 6x + 10

Заметьте: квадраты x^2 взаимно уничтожились, осталось простое линейное выражение.

Вынесение общего множителя

Если в каждом слагаемом есть общий множитель, его выносят за скобку:

6x^3 − 9x^2 = 3x^2(2x − 3) 4ab + 8a = 4a(b + 2)

Группировка для разложения

Когда общего множителя у всех слагаемых нет, помогает группировка. Разложим многочлен ax + ay + bx + by:

= (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Сначала вынесли множитель в каждой группе, затем — общую скобку (x + y).

Полный квадрат внутри выражения

Иногда часть выражения сворачивается в формулу сокращённого умножения. Упростим x^2 + 4x + 4:

x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2·x·2 + 2^2 = (x + 2)^2

Узнавать такие «свёртки» полезно: они помогают разложить многочлен на множители и сократить дроби.

Частые ошибки. При раскрытии скобок перед знаком «минус» забывают поменять знаки у всех слагаемых внутри. Также путают (a + b)^2 с a^2 + b^2 — обязательно появляется удвоенное произведение 2ab. Эти ошибки встречаются чаще всего.

Кратко о главном

• Целое выражение не содержит деления на переменную.
• Тождественное преобразование сохраняет значение при любых переменных.
• Главные инструменты — формулы сокращённого умножения и вынесение множителя.
• Перед скобкой со знаком «минус» меняются знаки всех слагаемых внутри.