Теорема Виета
📐 Алгебра · 8 класс
Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами. Разложение на множители.
Связь корней и коэффициентов
Теорема Виета устанавливает простую связь между корнями приведённого квадратного уравнения и его коэффициентами. Приведённым называют уравнение вида «икс в квадрате плюс p·x плюс q равно нулю», где старший коэффициент равен единице. Теорема позволяет находить корни устно и проверять уже найденные.
Формулировка
Если x1 и x2 — корни приведённого уравнения, то их сумма равна −p, а произведение равно q. То есть сумма корней противоположна второму коэффициенту, а произведение равно свободному члену. Для неприведённого уравнения сначала делят всё на старший коэффициент.
| Величина | Чему равна | Пример для x² − 5·x + 6 = 0 |
|---|---|---|
| Сумма корней | −p | 5 (то есть −(−5)) |
| Произведение корней | q | 6 |
| Сами корни | подбираем по сумме и произведению | 2 и 3 |
Применение и разложение на множители
Зная корни, квадратный трёхчлен раскладывают на множители: «a·x² + b·x + c равно a·(x − x1)·(x − x2)». Это упрощает дроби и решение уравнений. Обратная теорема позволяет подбирать корни: ищут два числа, сумма которых −p, а произведение q.
Разбор примера
Задача: решить уравнение x² − 7·x + 12 = 0 по теореме Виета
Шаг 1. Уравнение приведённое: p = −7, q = 12.
Шаг 2. По теореме: x1 + x2 = 7, x1·x2 = 12.
Шаг 3. Подбираем два числа: их произведение 12, сумма 7.
Подходят 3 и 4 (3·4 = 12, 3 + 4 = 7).
Шаг 4. Записываем разложение:
x² − 7·x + 12 = (x − 3)·(x − 4).
Ответ: x1 = 3, x2 = 4.
Частые ошибки. Главная путаница — со знаком суммы: сумма корней равна именно минус p, а не p. Если у произведения корней знак «минус», то корни разных знаков; если «плюс» — одного знака. Теорема в простом виде работает только для приведённого уравнения.
Как теорема ускоряет решение
Главное достоинство теоремы Виета — скорость. Когда коэффициенты невелики и целые, корни удаётся угадать за несколько секунд, не считая дискриминант. Для уравнения с положительным q и отрицательным p оба корня положительны, поэтому ищут два положительных множителя нужного произведения. Это особенно выручает на устном счёте и в задачах, где важна не громоздкая формула, а быстрый разумный ответ.
Знаки корней без вычислений
Теорема позволяет судить о знаках корней ещё до их нахождения. Если произведение корней положительно, значит корни одного знака, и тогда их общий знак подсказывает сумма. Если произведение отрицательно, корни обязательно разных знаков. Такой анализ полезен для проверки: если по условию задачи корни должны быть, скажем, оба положительными, а произведение получилось отрицательным, значит где-то закралась ошибка.
Кратко о главном
- Теорема Виета связывает корни приведённого уравнения с его коэффициентами.
- Сумма корней равна −p, произведение равно q.
- Для неприведённого уравнения сначала делят на старший коэффициент.
- Корни подбирают как два числа с нужными суммой и произведением.
- По корням трёхчлен раскладывается на множители вида a·(x − x1)·(x − x2).