Формулы сокращённого умножения
📐 Алгебра · 7 класс
Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности.
Зачем нужны формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения (сокращённо ФСУ) — это готовые равенства, которые позволяют возводить в степень суммы и разности и перемножать некоторые многочлены сразу, без долгого раскрытия скобок. Они экономят время и почти не дают ошибиться. Эти формулы — фундамент всей дальнейшей алгебры: на них держится разложение на множители, упрощение дробей и решение уравнений.
Семь формул: раскрытие скобок и разложение
| Название | Равенство |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
Равенства работают в обе стороны. При раскрытии скобок получаем сумму, при разложении — произведение. Перед подстановкой полезно отдельно назвать a и b: они могут быть целыми выражениями, а не только буквами.
Пример: сумма кубов
Разложим 8x³ + 125. Здесь a = 2x, b = 5. Получаем (2x + 5)(4x² − 10x + 25). В трёхчлене стоит −10x, а не −20x: это неполный квадрат, коэффициента 2 перед ab в этой формуле нет.
Пример: формула после общего множителя
6x³ − 24x = 6x(x² − 4) = 6x(x − 2)(x + 2). Сначала выделен общий множитель, затем применена разность квадратов. Если начать раскрывать или сокращать отдельные слагаемые, удобная структура может потеряться. Сравните с приёмами разложения на множители.
Самостоятельная проверка
Разложите 27t³ − 8 и упростите (u − 6)(u + 6). Ответы: (3t − 2)(9t² + 6t + 4) и u² − 36. Для первого ответа проверьте раскрытием, что средние степени взаимно уничтожаются. Для второго определите, в какой скобке находится минус: порядок разности квадратов зависит от неё. Если после разложения нужно сократить дробь, ограничения исходного знаменателя записываются отдельно — сама формула их не отменяет.
Как читать формулу квадрата суммы
Формула (a + b)² = a² + 2ab + b² читается так: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго». Многие ученики ошибочно пишут (a + b)² = a² + b² — это грубая ошибка: теряется среднее слагаемое 2ab.
Пошаговый пример
Раскроем скобки в выражении (3x + 4)².
Дано: (3x + 4)²
Шаг 1. Первое слагаемое a = 3x, второе b = 4.
Шаг 2. Квадрат первого: a² = (3x)² = 9x²
Шаг 3. Удвоенное произведение: 2ab = 2·3x·4 = 24x
Шаг 4. Квадрат второго: b² = 4² = 16
Шаг 5. Складываем по формуле квадрата суммы:
(3x + 4)² = 9x² + 24x + 16
Ответ: 9x² + 24x + 16.Разность квадратов
Эта формула работает в обе стороны. Слева направо она раскладывает на множители: x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Справа налево позволяет быстро перемножать: (7 − a)(7 + a) = 49 − a². Запомните: разность квадратов раскладывается, а вот сумма квадратов a² + b² на множители (с обычными числами) не раскладывается.
Где это пригодится в счёте
Формулы удобны не только в алгебре, но и в устном счёте. Чтобы возвести в квадрат число 41, представим его как сумму: 41² = (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. А произведение 19 · 21 легко найти через разность квадратов: (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399. Так формулы превращаются в инструмент быстрых вычислений без калькулятора.
Как не запутаться в знаках
В квадрате суммы все три слагаемых со знаком «плюс». В квадрате разности средний член 2ab идёт с минусом, а крайние — с плюсом, ведь квадрат любого числа неотрицателен. В кубах знаки чередуются: у куба суммы все плюсы, у куба разности знаки идут «плюс, минус, плюс, минус». Полезно проговаривать формулу словами вслух — так она запоминается надёжнее, чем при механическом переписывании.
Частые ошибки. 1) Пропускают удвоенное произведение:(a − b)² ≠ a² − b². 2) Путают знаки в кубе разности — там чередование плюс-минус-плюс-минус. 3) Возводя в квадрат3x, забывают возвести в квадрат коэффициент:(3x)² = 9x², а не3x².
Кратко о главном
- ФСУ позволяют раскрывать скобки и перемножать многочлены быстро.
- Квадрат суммы и разности всегда содержат три слагаемых, включая удвоенное произведение.
- Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности.
- В кубах знаки и коэффициенты 3 строго чередуются по формуле.
- Не возводите в квадрат только букву — возводится весь множитель вместе с числом.