Квадратное уравнение
📐 Алгебра · 8 класс
Полное и неполное квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней.
Что такое квадратное уравнение
Квадратным называют уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Число a называют первым (старшим) коэффициентом, b — вторым, c — свободным членом. Корнями уравнения называют те значения переменной, при которых равенство верно.
Полные и неполные уравнения
Если все три коэффициента отличны от нуля, уравнение называют полным. Если b или c равны нулю — неполным. Неполные уравнения решаются проще, без дискриминанта.
| Вид | Условие | Как решать |
|---|---|---|
ax² + bx + c = 0 | все коэффициенты ≠ 0 | через дискриминант |
ax² + bx = 0 | c = 0 | вынести x за скобку |
ax² + c = 0 | b = 0 | выразить x² |
Дискриминант
Для полного квадратного уравнения вычисляют дискриминант по формуле D = b² − 4ac. Именно он показывает, сколько корней имеет уравнение.
- Если D > 0 — два различных корня.
- Если D = 0 — один корень (два совпавших).
- Если D < 0 — действительных корней нет.
Формула корней
При D ≥ 0 корни находят по формуле: x = (−b ± √D) / (2a). Знак ± означает два варианта: с плюсом и с минусом перед корнем.
Теорема Виета
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (где старший коэффициент равен 1) корни связаны простыми соотношениями: их сумма равна −p, а произведение равно q. Это теорема Виета. С её помощью корни «красивых» уравнений угадывают устно. Например, для x² − 5x + 6 = 0 подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3, что совпадает с ответом, полученным через дискриминант.
Пошаговый пример
Решим уравнение x² − 5x + 6 = 0.
Дано: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6.
Шаг 1. Дискриминант:
D = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6
D = 25 − 24 = 1
Шаг 2. D = 1 > 0 — два корня.
√D = √1 = 1.
Шаг 3. Формула корней:
x = (−(−5) ± 1) / (2·1) = (5 ± 1) / 2
Шаг 4. Два корня:
x₁ = (5 + 1)/2 = 3
x₂ = (5 − 1)/2 = 2
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2.Решение неполных уравнений
Неполные уравнения решают без дискриминанта. Если c = 0, выносят x за скобку: x² − 3x = 0 → x(x − 3) = 0, откуда x = 0 или x = 3. Если b = 0, выражают квадрат переменной: 2x² − 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2. Заметьте: уравнение x² = −4 корней не имеет, ведь квадрат числа не бывает отрицательным.
Частые ошибки. 1) Теряют знак минус: при b = −5 в формуле берётся −b = +5. 2) Неверно считают b²:(−5)² = 25, а не −25. 3) Делят на 2a только часть выражения — делить нужно всю сумму(−b ± √D). 4) В уравнении видаx(x − 3) = 0теряют корень x = 0.
Как отличить линейное, квадратное и кубическое уравнение
Сначала перенесите всё в одну сторону, раскройте скобки и приведите подобные. Степень определяется полученным ненулевым многочленом, а не самым большим показателем в первоначальной записи. Например, x³ + x = x³ + 4 после сокращения одинаковых членов превращается в x = 4.
| Вид | Условие старшего коэффициента | Один из доступных способов |
|---|---|---|
| ax + b = 0 | a ≠ 0 | Выразить x |
| ax² + bx + c = 0 | a ≠ 0 | Дискриминант, разложение или выделение квадрата |
| ax³ + bx² + cx + d = 0 | a ≠ 0 | Общий множитель, группировка, проверенный корень и деление |
Кубический случай с нулевым свободным членом
x³ − 7x² + 12x = 0. Выносим x: x(x² − 7x + 12) = 0. Второй множитель равен (x − 3)(x − 4). Поэтому корни 0, 3 и 4. Если сразу разделить на x, корень 0 пропадёт.
Группировка и число действительных корней
x³ − 2x² + x − 2 = 0. Группируем: x²(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(x² + 1). Второй множитель положителен при любом действительном x, поэтому единственный действительный корень x = 2. Третья степень не означает обязательно три различных действительных корня.
Если подходящий множитель не виден
Для P(x) = x³ − 4x² + x + 6 проверка даёт P(2) = 0. Поэтому можно разделить на x − 2, получить x² − 2x − 3 и продолжить квадратным методом. Корни 2, 3 и −1. В отличие от угадывания ответа, подстановка и деление позволяют проверить все оставшиеся возможности.
Указанные приёмы удобны для подходящих примеров, но не обещают простое целое разложение любого кубического уравнения. Формула квадратного уравнения напрямую к кубическому не применяется. В учебном курсе могут понадобиться другие методы.
Продолжение — линейные уравнения, разложение на множители и деление многочленов. Проверяйте каждый найденный корень подстановкой и не прекращайте поиск остальных только потому, что один уже найден.
Кратко о главном
- Квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0.
- Неполные уравнения (b = 0 или c = 0) решают без дискриминанта.
- Дискриминант D = b² − 4ac определяет число корней.
- При D > 0 — два корня, при D = 0 — один, при D < 0 — корней нет.
- Корни: x = (−b ± √D)/(2a), делится вся скобка.