Преобразования выражений с корнями
📐 Алгебра · 8 класс
Вынесение множителя из-под корня, введение под корень, рационализация.
Зачем преобразовывать выражения с корнями
Выражения с радикалами почти всегда можно упростить: вынести часть множителя за знак корня, наоборот внести множитель под корень или убрать корень из знаменателя дроби. Эти преобразования делают запись короче, помогают сравнивать числа и сокращать дроби. Все они опираются на свойство «корень из произведения равен произведению корней».
Вынесение множителя из-под корня
Если под корнем есть множитель, являющийся полным квадратом, его корень выносят наружу. Например, под корнем 50 спрятан квадрат 25, поэтому корень из 50 равен 5·(корень из 2). Это основной приём упрощения.
Внесение множителя под корень
Обратная операция: положительный множитель перед корнем возводят в квадрат и заносят под радикал. Так, 3·(корень из 2) равно корню из (9·2), то есть корню из 18. Это удобно, когда нужно сравнить два выражения с корнями.
Рационализация знаменателя
Если в знаменателе стоит корень, от него избавляются, домножая дробь на нужное выражение. Если знаменатель — это сумма или разность с корнем, умножают на сопряжённое выражение, используя формулу разности квадратов.
| Преобразование | Было | Стало |
|---|---|---|
| Вынесение множителя | корень из 72 | 6·(корень из 2) |
| Внесение множителя | 2·(корень из 5) | корень из 20 |
| Рационализация (одночлен) | 1/(корень из 3) | (корень из 3)/3 |
| Рационализация (сопряжённое) | 1/(корень из 5 − 2) | корень из 5 + 2 |
Разбор примера
Задача: упростить дробь 6 / (корень из 5 − корень из 2)
Шаг 1. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое:
на (корень из 5 + корень из 2).
Шаг 2. Знаменатель по формуле разности квадратов:
(корень из 5)² − (корень из 2)² = 5 − 2 = 3.
Шаг 3. Числитель: 6·(корень из 5 + корень из 2).
Шаг 4. Сокращаем 6/3 = 2.
Ответ: 2·(корень из 5 + корень из 2).
Частые ошибки. Под корень нельзя вносить отрицательный множитель напрямую: знак «минус» обязан остаться перед корнем. При рационализации часто забывают домножить и числитель тоже — тогда значение дроби меняется, а это грубая ошибка.
Зачем сравнивать корни через внесение
Приём внесения множителя под корень особенно полезен, когда нужно сравнить два числа без калькулятора. Сравним, например, числа 2·(корень из 3) и 3·(корень из 2). Внесём множители под знаки корней: первое число равно корню из 12, второе — корню из 18. Поскольку 12 меньше 18, то и первое число меньше второго. Так задача сравнения сводится к сравнению обычных целых чисел под корнями.
Алгоритм упрощения выражения с корнями
Чтобы упростить громоздкое выражение, действуют по порядку: сначала из каждого корня выносят полные квадраты, затем приводят подобные слагаемые с одинаковыми корнями, и лишь в конце при необходимости избавляются от иррациональности в знаменателе. Такой порядок помогает не запутаться. Подобными считают слагаемые с одним и тем же подкоренным числом: например, 5·(корень из 2) и 3·(корень из 2) складываются в 8·(корень из 2).
Кратко о главном
- Из-под корня выносят множитель, являющийся полным квадратом.
- Положительный множитель вносят под корень, возводя его в квадрат.
- От корня в знаменателе избавляются домножением на корень или на сопряжённое выражение.
- Сопряжённое выражение работает через формулу разности квадратов.
- Домножать нужно и числитель, и знаменатель, иначе дробь изменится.